8.4: Гіперболи

Гіпербола 23 – це сукупність точок на площині, відстані яких від двох нерухомих точок, званих вогнищами, має абсолютну різницю, яка дорівнює позитивній константі. Іншими словами, якщо точки \(F_\) і \(F_\) є осередками і \(d\) є деякою заданою позитивною константою, то \((x,y)\) це точка на гіперболі, якщо \(d=\left|d_-d_\right|\) як на малюнку нижче:

Крім того, гіпербола утворюється перетином конуса з косою площиною, яка перетинає підставу. Він складається з двох окремих кривих, званих гілками 24 . Точки на окремих гілках графа, де відстань знаходиться на мінімумі, називаються вершинами 25 . Серединою між вершинами гіперболи є її центр. На відміну від параболи, гіпербола асимптотична до певних ліній, проведених через центр. У цьому розділі ми зупинимося на графіку гіпербол, які відкриваються вліво і вправо або вгору і вниз.

Асимптоти малюються пунктирними, оскільки вони не є частиною графіка; вони просто вказують на кінцеву поведінку графіка. Рівняння гіперболи, що відкривається вліво і вправо в стандартному вигляді 26 , виглядає наступним чином:

Тут центр є \((h,k)\) і вершини \((h±a,k)\) . Рівняння гіперболи, що відкривається вгору і вниз в стандартній формі 27 , виглядає наступним чином:

Тут центр є \((h,k)\) і вершини \((h,k±b)\) .

Асимптоти мають важливе значення для визначення форми будь-якої гіперболи. За стандартною формою асимптоти є лінії, що проходять через центр \((h,k)\) з нахилом \(m=\pm \frac\) . Щоб легко намалювати асимптоти, ми використовуємо два спеціальні відрізки лінії через центр за допомогою \(a\) і \(b\) . З огляду на будь-яку гіперболу, поперечна вісь 28 – це відрізок лінії, утворений її вершинами. Сполучений вісь 29 – це відрізок лінії через центр, перпендикулярний поперечній осі, як показано нижче:

Прямокутник, який визначається поперечною і сполученою осями, називається основним прямокутником 30 . Лінії через кути цього прямокутника мають ухили \(m=\pm \frac\) . Ці лінії є асимптотами, які визначають форму гіперболи. Тому, з огляду на стандартну форму, багато властивостей гіперболи очевидні.

Таблиця \(\PageIndex\)

Графік гіперболи повністю визначається її центром, вершинами та асимптотами.

При цьому вираз за участю \(x\) має позитивний провідний коефіцієнт; отже, гіпербола відкривається вліво і вправо. Ось \(a=\sqrt=3\) і \(b=\sqrt=2\) . Від центру \((5,4)\) відзначте точки \(3\) одиниць вліво і вправо, а також \(2\) одиниці вгору і вниз. З’єднайте ці точки прямокутником наступним чином:

Лінії через кути цього прямокутника визначають асимптоти.

Використовуйте ці пунктирні лінії як орієнтир для графіка гіперболи, що відкриваються вліво і вправо, що проходять через вершини.

При цьому вираз за участю \(y\) має позитивний провідний коефіцієнт; отже, гіпербола відкривається вгору і вниз. Ось \(a=\sqrt=6\) і \(b=\sqrt=2\) . Від центру \((−1,2)\) відзначте точки \(6\) одиниць вліво і вправо, а також \(2\) одиниці вгору і вниз. З’єднайте ці точки прямокутником. Лінії через кути цього прямокутника визначають асимптоти.

Використовуйте ці пунктирні лінії як орієнтир для графіка гіперболи, що відкривається вгору і вниз, що проходить через вершини.

Коли дана гіпербола, що відкривається вгору і вниз, як і в попередньому прикладі, це поширена помилка обміну значеннями для центру, \(h\) і \(k\) . Це відбувається тому, що кількість, що включає змінну, \(y\) зазвичай з’являється спочатку у стандартній формі. Подбайте про те, щоб \(y\) -значення центру походить від величини, що включає змінну, \(y\) і що \(x\) -значення центру отримується з кількості, що включає змінну \(x\) .

Як і в будь-якому графіку, ми зацікавлені в пошуку \(x\) – і \(y\) -перехоплення.

Щоб знайти \(x\) -перехоплення встановити \(y=0\) і вирішити для \(x\) .

Тому є тільки один \(x\) -перехоплення, \((−1,0)\) . Щоб знайти набір \(y\) -intercept \(x=0\) і вирішити для \(y\) .

Тому є два \(y\) -перехоплення, \(\left(0, \frac>\right) \approx(0,-0.03)\) \(\left(0, \frac>\right) \approx(0,4.03)\) і.Візьміть хвилинку, щоб порівняти їх з ескізом графіка в попередньому прикладі.

Розглянемо гіперболу, зосереджену на початку,

Стандартна форма вимагає, щоб одна сторона була рівною \(1\) . В цьому випадку ми можемо отримати стандартну форму, розділивши обидві сторони на \(45\) .

Це можна записати наступним чином:

У такому вигляді зрозуміло, що центр є \((0,0)\) \(a=\sqrt\) , і \(b=3\) . Далі йде графік.

Гіпербола в загальній формі

Ми бачили, що граф гіперболи повністю визначається його центром, вершинами та асимптотами; що можна прочитати з його рівняння в стандартній формі. Однак рівняння не завжди дається в стандартній формі. Рівняння гіперболи в загальному вигляді 31 виглядає наступним чином:

де \(p,q>0\) . Етапи побудови графіка гіперболи з урахуванням її рівняння в загальному вигляді викладені в наступному прикладі.

Почніть з перезапису рівняння в стандартному вигляді.

Крок 1: Згрупуйте терміни з однаковими змінними і перемістіть константу в праву сторону. Фактор так, що провідний коефіцієнт кожної угруповання є \(1\) .

\(\begin 4 x^-9 y^+32 x-54 y-53 &=0 \\[4pt] \left(4 x^+32 x+\_\_\_\right )+\left(-9 y^-54 y+\_\_\_\right)&=53 \\[4pt] 4\left(x^+8x+\_\_\_ \right)-9\left(y^+6y+\_\_\_ \right)&=53 \end\)

Крок 2: Заповніть квадрат для кожного угруповання. У цьому випадку для термінів, що передбачають \(x\) використання, \(\left(\frac\right)^=4^=16\) і для термінів, пов’язаних з \(y\) використанням \(\left(\frac\right)^=(3)^=9\) . Коефіцієнт перед кожним угрупованням впливає на значення, яке використовується для збалансування рівняння праворуч,

Через властивість distributive додавання \(16\) всередині першого групування еквівалентно додаванню \(4⋅16=64\) . Аналогічно, додавання \(9\) всередині другого групування еквівалентно додаванню \(−9⋅9=−81\) . Тепер коефіцієнт, а потім ділимо, щоб отримати \(1\) на правій стороні.

Крок 3: Визначте центр, a та b, а потім використовуйте цю інформацію для ескізу графіка. При цьому центр – це \((−4,−3)\) \(a=\sqrt=3\) , і \(b=\sqrt=2\) . Оскільки провідний коефіцієнт виразу за участю \(x\) є позитивним, а коефіцієнт виразу, що включає \(y\) негативний, ми графуємо гіперболу, що відкривається вліво і вправо.

Визначення конічних перерізів

У цьому розділі завдання полягає у визначенні конічного перерізу з урахуванням його рівняння в загальному вигляді. Для розрізнення конічних перерізів використовують показники і коефіцієнти. Якщо рівняння квадратичне тільки в одній змінній і лінійне в іншій, то його графік буде параболою.

Малюнок \(\PageIndex\)

Малюнок \(\PageIndex\)

Малюнок \(\PageIndex\)

Малюнок \(\PageIndex\)

Якщо рівняння квадратичне в обох змінних, де коефіцієнти квадратних членів однакові, то його графік буде колом.

Малюнок \(\PageIndex\)

Якщо рівняння квадратичне в обох змінних, де коефіцієнти квадратних членів різні, але мають однаковий знак, то його графік буде еліпсом.

Малюнок \(\PageIndex\)

Якщо рівняння квадратичне в обох змінних, де коефіцієнти квадратних членів мають різні ознаки, то його графік буде гіперболою.

Малюнок \(\PageIndex\)

Малюнок \(\PageIndex\)

Визначте графік кожного рівняння як параболу, коло, еліпс або гіперболу.

1. Рівняння квадратичне в обох \(x\) і \(y\) де провідні коефіцієнти для обох змінних однакові, \(4\) .

Це рівняння окружності з центром у початку координат з радіусом \(1/2\) .

2. Рівняння квадратичне в обох \(x\) і \(y\) де провідні коефіцієнти для обох змінних мають різні ознаки.

Це рівняння гіперболи, що відкривається вліво і вправо по центру у початку.

3. Рівняння є квадратичним \(y\) тільки в.

Це рівняння параболи, що відкривається праворуч з вершиною \((2,3)\) .

Ключові винос

• Графік гіперболи повністю визначається її центром, вершинами та асимптотами.
• Центр, вершини та асимптоти очевидні, якщо рівняння гіперболи дано в стандартній формі: \(\frac>>-\frac>>=1\) або \(\frac>>-\frac>>=1\) .
• Щоб намалювати гіперболу, позначте точки \(a\) одиниці ліворуч і праворуч від центру і точки \(b\) одиниць вгору і вниз від центру. Використовуйте ці точки, щоб намалювати основний прямокутник; лінії через кути цього прямокутника є асимптотами. Якщо коефіцієнт \(x^\) позитивний, проведіть гілки гіперболи, що відкриваються вліво і вправо, через визначені точки \(a\) . Якщо коефіцієнт \(y^\) позитивний, проведіть гілки гіперболи, що відкриваються вгору і вниз через визначені точки \(b\) .
• Орієнтація поперечної осі залежить від коефіцієнта \(x^\) і \(y^\) .
• Якщо рівняння гіперболи дано в загальному вигляді \(p x^-q y^+c x+d y+e=0\) або \(q y^-p x^+c x+d y+e=0\) де \(p,q>0\) , згрупуйте члени з однаковими змінними та заповніть квадрат для обох груп, щоб отримати стандартну форму.
• Ми визнаємо рівняння гіперболи, якщо воно квадратичне в обох \(x\) і \(y\) де коефіцієнти квадратних членів протилежні за знаком.

З огляду на рівняння гіперболи в стандартній формі, визначають її центр, в який бік відкривається граф, і вершини.

1. Центр: \((6,-4) ; a=4 ; b=3\) ; відкриває вліво і вправо; вершини: \((2, −4), (10, −4)\)

3. Центр: \((0,-9) ; a=1, b=\sqrt\) ; відкривається вгору і вниз; вершини: \((0,-9-\sqrt),(0,-9+\sqrt)\)

5. Центр: \((−1, −10); a = 2, b = 5\) ; відкривається вгору і вниз; вершини: \((−1, −15) , (−1, −5)\)

Визначити стандартну форму для рівняння гіперболи дано наступну інформацію.

1. Центр \((2,7), a=6, b=3,\) відкривається вліво і вправо.
2. Центр \((-9,1), a=7, b=2,\) відкривається вгору і вниз.
3. Центр \((10,-3), a=\sqrt, b=5 \sqrt,\) відкривається вгору і вниз.
4. Центр \((-7,-2), a=3 \sqrt, b=\sqrt,\) відкривається вліво і вправо.
5. Центр \((0,-8), a=\sqrt b=1,\) відкривається вгору і вниз.
6. Центр \((0,0), a=2 \sqrt, b=4,\) відкривається вліво і вправо.

Підручник Геометрія 9 клас – Г П. Бевз – Освіта 2017 рік

Точки X і Х ₁ називаються симетричними відносно прямої , якщо ця пряма — серединний перпендикуляр відрізка XX ₁ (мал. 271). Якщо точка X лежить на прямій , вона вважається симетричною сама собі відносно прямої .

Перетворення фігури F, при якому кожна її точка відображається на симетричну їй відносно прямої точку, називається перетворенням симетрії відносно прямої . Якщо при цьому перетворенні фігура F відображається на F ₁, то ці дві фігури називають симетричними відносно прямої .

Перетворення симетрії відносно прямої є переміщенням.

Нехай довільні точки X і Y фігури F перетворенням симетрії відносно прямої відображаються на точки Х ₁ і Y ₁ фігури F ₁ (мал. 272, а). Доведемо, що ХY = Х ₁Y ₁.

Якщо К і Р — точки перетину відрізків ХХ ₁ і YY ₁ з прямою , то ∆ХКР =∆Х ₁КР (за двома катетами). Отже, ХР = Х ₁Р і

1 = 2, звідки ХРУ = Х ₁РY ₁. Оскільки РY = РY ₁, то ∆ХУР =∆Х ₁Y ₁Р, тому ХY = Х ₁Y ₁.

Якщо точки Х, Y, Х ₁ і Y ₁ лежать на одній прямій (мал. 272, б), то

Отже, в обох випадках ХY = Х ₁Y ₁, тобто перетворення симетрії відносно прямої зберігає відстані між точками. Це перетворення — переміщення.

З доведеної теореми випливає, що перетворення симетрії відносно прямої відображає пряму на пряму, будь-яку фігуру — на рівну їй фігуру.

Якщо при симетрії відносно прямої фігура F відображається на себе, таку фігуру називають симетричною відносно прямої, а пряму — віссю симетрії фігури F. Наприклад, рівнобічна трапеція симетрична відносно прямої, що проходить через середини її основ (мал. 273). Ромб, відмінний від квадрата, має дві осі симетрії (мал. 274), квадрат — чотири (мал. 275), а коло — безліч. Правильний n-кутник має n осей симетрії. Усі вони проходять через його центр. Фігури, симетричні відносно прямої, часто трапляються в природі (мал. 276), техніці (мал. 277) і мистецтві (мал. 278).

Дві симетричні відносно прямої фігури рівні і лежать в одній площині. А чи завжди, переміщаючи їх тільки в цій площині, можна сумістити їх накладанням? Ні. Наприклад, два симетричні відносно прямої прямокутні нерівнобедрені трикутники АBC і А ₁В ₁С ₁ рівні. Але щоб сумістити їх накладанням, треба один із них перевернути іншим боком, а для цього винести його з площини в простір (мал. 279).

Кажуть, що такі трикутники рівні, але неоднаково орієнтовані. Якщо вершини А, В, С першого трикутника можна обійти в напрямі руху годинникової стрілки, то відповідні вершини трикутника А ₁В ₁С ₁ — у протилежному напрямі (мал. 280).

Отже, симетрія відносно прямої змінює орієнтацію фігур.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Які точки називають симетричними відносно деякої прямої?

2. Яке перетворення називають симетрією відносно прямої?

3. Доведіть, що симетрія відносно прямої — переміщення.

4. Які фігури називають симетричними відносно прямої?

5. Скільки осей симетрії має: а) ромб; б) квадрат; в) коло?

6. Чи має вісь симетрії: а) трикутник; б) трапеція; в) паралелограм?

1. Побудуйте трикутник, симетричний трикутнику АВС відносно прямої , яка лежить поза трикутником (мал. 281).

Через вершини ∆АВС проводимо прямі АА ₁, ВВ ₁, СС ₁, перпендикулярні до , і відкладаємо на них відрізки А ₁А ₂ = АА ₁, В ₁В ₂ = ВВ ₁ С ₁С ₂ = СС ₁.

Сполучивши точки А ₂, В ₂, С ₂, отримаємо ∆А ₂ В ₂С ₂, симетричний трикутнику АВС відносно прямої .

2. Точки А і В лежать з одного боку від прямої . Знайдіть на цій прямій таку точку К, щоб сума АК + КВ була найменшою.

Позначимо точку В ₁, симетричну В відносно (мал. 282).

Точка К перетину прямих АВ ₁ і — шукана. Справді, якщо К ₁ — яка-небудь інша точка прямої , то

Сума АК + КВ менша від будь-якої суми АК ₁ + К ₁В.

821. Які з фігур, зображених на малюнку 283, мають осі симетрії?

822. Які з наведених нижче букв симетричні відносно прямої: А, Б, В, Г, Д, Е, Є, Ж, З, К, Л, М, Н, О, П, С, Т, Х, Ф?

823. Чи правильно, що бісектриса кута є його віссю симетрії?

824. Скільки осей симетрії має: а) відрізок; б) пряма; в) коло?

825. Чи може мати вісь симетрії ламана, що має 4 ланки? А 5 ланок, п ланок?

826. Скільки осей симетрії може мати: а) незамкнена ламана; б) замкнена ламана?

827. Фігура складається з двох рівних кіл, що перетинаються. Скільки осей симетрії має ця фігура?

828. Фігура складається з трьох рівних кіл, що дотикаються одне до одного. Скільки осей симетрії має ця фігура?

829. Які чотирикутники мають тільки одну вісь симетрії?

830. Побудуйте точку, симетричну даній точці А відносно прямої .

831. Дано дві точки. Побудуйте пряму, відносно якої вони симетричні.

832. Побудуйте фігуру, симетричну даному відрізку АВ відносно даної прямої . Розгляньте кілька випадків (мал. 284).

833. Побудуйте трикутник, симетричний даному трикутнику відносно прямої . Розгляньте різні випадки (мал. 285).

834. Побудуйте фігуру, симетричну даному колу відносно прямої, яка:

а) не має з колом спільних точок;

835. Всередині гострого кута АОВ дано точку М. Точки М ₁ і М ₂ симетричні точці М відносно прямих ОА і ОВ. Знайдіть міру кута М ₁ОМ ₂, якщо AОВ = а.

836. Кола з центрами О і О ₁ перетинаються в точках А і В. Доведіть, що точки А і В симетричні відносно прямої ОО ₁.

837. Доведіть, що трикутник, який має вісь симетрії, рівнобедрений.

838. Доведіть, що трикутник, який має дві осі симетрії, рівносторонній. Скільки осей симетрії має рівносторонній трикутник?

839. Доведіть, що бісектриса кута лежить на його осі симетрії.

840. Побудуйте точки А(-3; 1), В(4; 5), С(-2; -6), D(0; 3), Е(2; 0), К(1; 1) і точки, симетричні даним відносно: а) осі ОХ; б) осі ОY. Запишіть координати цих точок.

841. Встановіть вид трикутника АВС, якщо А(-4; 2), В(3; 6), С(2; -2). Скільки осей симетрії має цей трикутник?

842. У чотирикутнику ABCD AB = AD і CB = CD. Доведіть, що пряма AC — його вісь симетрії.

843. Діагоналі чотирикутника є його осями симетрії. Доведіть, що цей чотирикутник — ромб.

844. Дано пряму , рівняння якої у = 2х + 3. Запишіть рівняння прямих, симетричних відносно: а) осі х; б) осі у.

845. Напишіть рівняння осей симетрії чотирикутника ABCD, якщоA(-5; 1), B(-3; 5), C(1; 3), D(-1; -1).

846. Два відрізки симетричні відносно прямої а. Доведіть, що серединні перпендикуляри цих відрізків також симетричні відносно прямої а.

847. Доведіть, що сума відстаней від будь-якої точки основи рівнобедреного гострокутного трикутника до бічних сторін дорівнює висоті трикутника, опущеній на бічну сторону.

848. Відрізки AB і CD симетричні відносно деякої прямої . Напишіть рівняння цієї прямої, якщо A(-1; 4), B(2; 3), C(-3; 2), D(-2; -1). Зробіть малюнок.

849. Скільки осей симетрії має фігура, яка є об’єднанням кіл:

а) (x – 2) 2 + (у + 3) 2 = 16 i (x + 4) 2 + (у – 1) 2 = 16;

б) (x – 3) 2 + (у + 4) 2 = 9 i (x – 3) 2 + (у – 1) 2 = 4;

в) (x + 4) 2 + (у – 2) 2 = 9 i (x – 2) 2 + (у – 2) 2 = 9?

850. Встановіть вид чотирикутника ABCD, якщо A(-3; -1), B(-5; 3), C(-1; 5), D(1; 1). Скільки осей симетрії він має? Напишіть їх рівняння.

851. Через внутрішню точку даного кута проведіть пряму, яка відтинає на його сторонах рівні відрізки.

852. Дано кут, вершина якого недоступна. Побудуйте кут, удвічі більший від даного.

853. Вершини A, B і C трикутника недоступні. Побудуйте відрізки, які дорівнюють AB, AC і BC.

854. Точки A і B лежать по різні боки від прямої . Знайдіть на прямій таку точку M, щоб бісектриса кута AMB належала цій прямій.

855. Опуклий чотирикутник, який має тільки одну вісь симетрії, що проходить через дві його вершини, називається дельтоїдом. Накресліть який-небудь дельтоїд і дослідіть його властивості.

856. Кожна з фігур (А-Д) має вісь симетрії, що задається деякою прямою (1-4). Установіть відповідність між прямими (1-4) та фігурами (А-Д).

Чотирикутник ABCD, якщо А(-1; 1), В(1; 4),С(4; 4), D(4; 1)