✅Опуклий чотирикутник – його властивості та ознаки

✅ Опуклий чотирикутник – це фігура, яка складається з чотирьох сторін, з’єднаних між собою в вершинах, які утворюють разом зі сторонами чотири кути, при цьому сам чотирикутник завжди знаходиться в одній площині відносно прямої, на якій лежить одна з його сторін.

Іншими словами, вся фігура знаходиться по одну сторону від будь-якої з її сторін.

Як видно, визначення досить легко запам’ятовується.

Основні властивості і види

До опуклих чотирикутників можна віднести практично всі відомі нам фігури, які складаються з чотирьох кутів і сторін. Можна виділити наступні:

Чи є паралелограм опуклим чотирикутником?

Вище показано зображення паралелограма. Як видно з малюнка, паралелограм також є опуклим. Якщо подивитися на фігуру щодо прямих, на яких лежать відрізки AB, BC, CD і AD, то стає зрозуміло, що вона завжди знаходиться на одній площині від цих прямих.

Основними ж ознаками паралелограма є те, що його сторони попарно паралельні і рівні так само, як і протилежні кути рівні між собою.

Тепер, уявіть собі квадрат або прямокутник. За своїми основними властивостями вони є ще і паралелограмами, тобто всі їхні сторони розташовані попарно паралельно. Тільки у випадку з прямокутником довжина сторін може бути різною, а кути прямі (рівні 90 градусам), квадрат – це прямокутник, у якого всі сторони рівні і кути також прямі, а у паралелограма довжини сторін і кути можуть бути різними.

У підсумку, сума всіх чотирьох кутів чотирикутника повинна дорівнювати 360 градусам.

Найлегше це визначити по прямокутнику: всі чотири кути прямокутника прямі, тобто рівні 90 градусам. Сума цих 90-градусних кутів дає 360 градусів, іншими словами, якщо скласти 90 градусів 4 рази, вийде необхідний результат.

Інші властивості і ознаки опуклості чотирикутника

Конкретно по цьому терміну дуже складно назвати якісь певні властивості і ознаки. Легше відокремити з різних видів чотирикутників різні його типи. Почати можна з паралелограма. Ми вже знаємо, що це чотирикутна фігура, сторони якої попарно паралельні і рівні. При цьому, сюди ж включається властивість діагоналей паралелограма перетинатися між собою, а також сама по собі ознака опуклості фігури: паралелограм знаходиться завжди в одній площині і по одну сторону щодо будь-якої зі своїх сторін.

Отже, відомі основні ознаки і властивості:

• сума кутів чотирикутника дорівнює 360 градусам;
• діагоналі фігур перетинаються в одній точці.

Далі розглянемо кожен чотирикутник окремо.

Прямокутник

Ця фігура має всі ті ж властивості і ознаки, що і паралелограм, але при цьому всі кути його рівні 90 градусам. Звідси і назва – прямокутник.

Квадрат, той же паралелограм, але кути його прямі як у прямокутника. Через це квадрат в рідкісних випадках називають прямокутником. Але головною відмітною ознакою квадрату, крім уже перерахованих вище, є те, що всі чотири його сторони рівні.

Трапеція

Трапеція – дуже цікава фігура. Це теж чотирикутник і теж опуклий. Головною відмінністю, а відповідно і ознакою трапеції є те, що її боки можуть бути абсолютно не рівні один одному по довжині, а також їх кути за визначенням. При цьому фігура завжди залишається на одній площині щодо будь-якої з прямих, яка з’єднує будь-які дві її вершини по відрізках, які утворюють фігуру.

Ромб

Ромб – не менш цікава фігура. Частково ромбом можна вважати квадрат. Ознакою ромба є той факт, що його діагоналі не тільки перетинаються, але і ділять кути ромба навпіл, а самі діагоналі перетинаються під прямим кутом, тобто, вони перпендикулярні. У разі, якщо довжини сторін ромба рівні, то діагоналі теж діляться навпіл при перетині.

Дельтоїда (опуклий ромбоїд)

Дельтоїди або опуклі ромбоїди (ромби) можуть мати різну довжину сторін. Але при цьому все одно зберігаються як основні властивості і ознаки самого ромба, так і ознаки та властивості опуклості.

Тобто, ми можемо спостерігати, що діагоналі ділять кути навпіл і перетинаються під прямим кутом.

Сьогоднішнім завданням було розглянути і зрозуміти, що таке опуклі чотирикутники, які вони бувають і їх основні ознаки і властивості. Увага! Варто нагадати ще раз, що сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює 360 градусам. Периметр фігур, наприклад, дорівнює сумі довжин всіх відрізків утворюють фігури.

Таблиця з поясненнями на тему “Опуклий чотирикутник – його властивості та ознаки”

Висновок

Опуклий чотирикутник – це важливий об’єкт у геометрії, який має ряд характерних властивостей, таких як опуклість, сума внутрішніх кутів, що дорівнює 360°, а також специфічні властивості протилежних кутів і діагоналей.

Вони можуть мати різні форми та розміри, від простих квадратів та прямокутників до складніших фігур, як трапеції та дельтоїди. Розуміння цих властивостей важливе для розв’язання геометричних задач та побудови різних конструкцій.

Опуклий чотирикутник – визначення та властивості

Нагадаємо, що чотирикутником називається фігура, що складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що їх послідовно сполучають. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки – сторонами чотирикутника. При цьому жодні три вершини не лежать на одній прямій, а жодні дві сторони не перетинаються.

Чотирикутники можуть бути опуклими та неопуклими.

Чим відрізняється опуклий чотирикутник від неопуклого.

Чотирикутник опуклий, якщо він лежить по один бік від будь-якої прямої, що містить його сторону.

Можна дати і інше визначення опуклого чотирикутника: якщо відрізок, що з’єднує дві будь-які точки чотирикутника, належить цьому чотирикутнику, він називається опуклим.

Якщо чотирикутник не лежить по один бік від будь-якої прямої, що містить його сторону, тоді він неопуклого.

На малюнку вище зображено опуклий чотирикутник – лежить по один бік від будь-якої з прямих та , або відрізок, що з’єднує будь-які його дві точки, належить цьому чотирикутнику.

Чотирьохкутник – неопуклий, тому що відрізок не належить йому.

Зазначимо, що до категорії «опуклий чотирикутник» можна віднести практично всі відомі нам фігури, що складаються з чотирьох кутів та сторін. Зокрема, можна виділити наступні:

Опуклий чотирикутник – властивості.

Діагоналі опуклого чотирикутника перетинаються. Справді, це явище можна спостерігати візуально, достатньо подивитися на наступний малюнок.

У будь-якому чотирикутнику сума кутів дорівнює 360 градусів.

Для доведення даної властивості розглянемо деякий опуклий чотирикутник . Проведемо діагональ , яка ділить його на два трикутники. Оскільки сума кутів будь-якого трикутника дорівнює 180 градусів матимемо:

Опуклий чотирикутник, вершинами якого є середини сторін довільного чотирикутника, є паралелограмом (теорема Варіньйона).

Отже, проведемо діагоналі чотирикутника і розглянемо трикутник . Зазначимо, що – середня лінія даного трикутника, а тому .

Розглянемо далі трикутник : – середня лінія цього трикутника, а отже, . Таким чином, .

Аналогічним чином доводиться, що . Отже, за визначенням, – паралелограм.

Якщо опуклий чотирикутник задовільняє властивості взаємної перпендикулярності своїх діагоналей, то суми квадратів його протилежних сторін рівні, тобто .

Для доведення даної властивості скористаємось теоремою Піфагора:

Виписавши далі вирази для сум квадратів протилежних сторін бачимо, що у правій частині кожного з виразів стоїть одна і та сама сума доданків:

Отже, рівні між собою і праві частини, що і треба було довести.

Розв’язування прикладів на тему опуклий чотирикутник.

Приклад 1: кути опуклого чотирикутника , сусідні з кутом , рівні, а протилежний кут удвічі більший за кут . Знайти градусну міру кут , якщо .

Отже, кутами, сусідніми з , є кути і , а кутом, протилежним до – кут . Тоді, за умовою задачі,  .

Оскільки сума кутів будь-якого чотирикутника дорівнює 360 градусів, то в даному випадку, матимемо:

Позначимо далі, градусну міру кута через . Тоді, градусна міра протилежного йому кута , за умовою, дорівнює . Звідси, . Отже,  .

Приклад 2: нехай дано опуклий чотирикутник , діагоналі якого перпендикулярні і дорівнюють та відповідно. Знайти площу чотририкутника вершини якого містяться в серединах сторін чотирикутника .

Отже, як зазначалося вище, опуклий чотирикутник, вершинами якого є середини сторін довільного чотирикутника, є паралелограмом.

Проте, виходячи з того, що сторони паралелограма є паралельні діагоналям чотирикутника , то – прямокутник. Його площа дорівнює добутку суміжних сторін, причому і :