Зміст:
Розділ І ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
Всесвітньо відомий математик, академік, педагог, громадський діяч. Його ім’ям названо терміни: «многочлени Кравчука», «формули Кравчука», «q-функції Кравчука — Мейкснера» га ін. Співавтор першого словника української математичної термінології. Організатор першої в Україні математичної олімпіади школярів (1935).
Хочете навчитися математики, беріться за завдання. Кожне розв’язання є своєрідним мистецтвом пошуку.
Немає у світі машин, які йшли не від математики, немає повнокровного життя творця техніки без цієї науки… Ніякої достовірності немає в науках там, де не можна застосувати математику. Тим-то вона, математика, для вас має стати душевною потребою, якщо хочете, хлібом і піснею .
НАБУВАЄМО ДОСВІДУ ТА КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ
• Множини і операції над ними
• Числові функції, їх графіки та властивості
• Метод математичної індукції
• Виконувати операції над множинами
• Розуміти суть функціональних залежностей, їх завдання та використання
• Зображувати графіки та встановлювати властивості функції
• Розв’язувати рівняння і нерівності та доводити твердження
• Моделювати реальні процеси за допомогою функцій і рівнянь
Навчальний проект № 1. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ ЗА ДОПОМОГОЮ ІКТ
§ 1 Множини та операції над ними
Сукупність тих чи інших об’єктів називають різними словами, наприклад: бригада (робітників), клас (учнів), рій (бджіл), табун (коней), зібрання (творів), набір (олівців), комплект (деталей) тощо. У математиці в таких випадках використовують одне слово — множина. Можна говорити про множину робітників, множину учнів, множину бджіл, множину олівців, множину деталей і т. ін. Множина — поняття неозначуване.
Об’єкти, які входять до множини, називають її елементами. Наприклад, одним із елементів множини зір, які входять до сузір’я Велика Ведмедиця, є зірка Дубхе (з арабської — ведмідь) (мал. 1).
Щоб записати множину, використовують фігурні дужки. Наприклад:
• — множина, що складається з кола ○, круга ● і квадрата ■.
Вважають, що всі елементи множини різні. Наприклад, не прийнято
записувати . Цю множину можна записати так: або . Порядок елементів у записі множини значення не має. Наприклад, записи і означають одну й ту саму множину. Можна також сказати, що ці множини рівні.
Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів.
Рівними є також множини розв’язків рівнянь 2х + 3 = 0 і = 1.
Множини часто позначають великими буквами латинського алфавіту: А, В, С,…, а їхні елементи — малими: а, b, с,….
Якщо елемент а належить множині М, то записують а М; якщо неналежить, то пишуть: а М. Наприклад, 5 , 2 .
Множину, що складається зі скінченної кількості елементів, називають скінченною. Такими є: множина всіх двоцифрових чисел, множина вершин шестикутника, множина його діагоналей тощо.
Множину, яка містить нескінченну кількість елементів, називають нескінченною. Нескінченною є, наприклад, множина всіх натуральних чисел, множина всіх точок деякого відрізка, множина розв’язків рівняння
Якщо множина містить дуже багато або безліч елементів і перерахувати їх важко або й неможливо, такі множини записують інакше, використовуючи характеристичну властивість.
<х|х>5> — множина всіх чисел, більших від 5;
Отже, множину можна задати переліком усіх її елементів або описом їх характеристичної властивості.
Розглядають множини, що містять тільки по одному елементу або не мають жодного елемента. Наприклад, множина коренів рівняння х + 3 = 15 містить одне число 12. Цю множину записують так: . Рівняння +3 = 0 коренів не має. Кажуть, що множина його коренів — порожня.
Порожньою називають множину, яка не містить елементів. Її позначають символом —.
У математиці найчастіше розглядають числові множини (елементами яких є тільки числа) і точкові множини (елементами яких є точки). Проте нерідко доводиться говорити і про множини виразів, рівнянь, нерівностей, функцій, відображень, відношень, переміщень, векторів тощо.
Математичний термін множина (і пов’язані з ним множення, множник, многочлен та ін.) походить від давньоукраїнського слова много. І. Франко писав: «Якби ти знав, як много важить слово…»
Для деяких числових множин існують усталені позначення. їх ви знаєте з попередніх класів.
N — множина натуральних чисел;
Q — множина раціональних чисел;
Ці множини пов’язані такими співвідношеннями:
Знак (означає «є підмножиною»: кожна множина N, Z, Q є частиною (підмножиною) наступної множини.
Якщо кожний елемент множиниA є елементом множини В, то множинуA називають підмножиною множини В.
Наприклад, множина дівчаток з якогось класу є підмножиною множини всіх учнів цього класу. Множина є підмножиною множини . Записують це так: . Взагалі, якщо А — підмножина В, то пишуть А В, або В А. Підмножиною множини В вважають також порожню множину і саму множину В.
Не обов’язково одна з двох множин є підмножиною іншої. Наприклад, множини квадратів К і трикутників Т не мають жодного спільного елемента, а множини прямокутників А і ромбів В мають спільну частину — множину квадратів К, але ні А не є підмножиною В, ні В не є підмножиною А (мал. 3).
У цьому випадку множина К є підмножиною множини А і множини В.
Відомі вам числові проміжки є підмножинами множини дійсних чисел. Якщо а і b — довільні дійсні числа, то використовують такі позначення і відповідні зображення (мал. 4):
Розглянемо основні операції, які можна виконувати над множинами.
Перерізом двох множин називають таку множину, яка складається з усіх їх спільних елементів і тільки з них.
Переріз множин позначають знаком . Наприклад, якщо М = , Р = , то М Р = .
У загальному вигляді (мал. 5):
Об’єднанням двох множин називають множину, яка складається з усіх елементів, що належать принаймні одній із цих множин і тільки з них.
Об’єднання множин позначають знаком .
Наприклад, якщо М = . У загальному вигляді (мал. 6): А В = |х|х А або х В>.
Поняття «переріз» чи «об’єднання» можна застосовувати до будь-яких множин. Щоб краще запам’ятати, який із символів ⋂ або писати, зверніть увагу на записи «⋂ереріз», « nion».
1. На малюнках 7, а і 7, б зображено об’єднання та переріз відрізків АВ і CD відповідно:
Примітка. Якщо відрізки, промені, прямі розглядають як множини точок, то їх позначають різними символами: [АВ], [АВ), (АВ).
2. Об’єднанням двох квадратів на малюнку 8 є неопуклий 16-кутник (мал. 8, а), а їх перерізом — опуклий восьмикутник (мал. 8, б).
Різницею множин А і В називають множину, яка складається з усіх тих елементів множини А, які не належать множині В.
Позначають різницю множин А і В символом А \ В, а зображають схематично так, як показано на малюнку 9.
Якщо А В, причому А ≠ і А ≠ В, то різниця В \ А називається також доповненням множини А до множини В. Наприклад, доповненням множини раціональних чисел до множини дійсних чисел є множина ірраціональних чисел.
Нескінченні множини бувають зчисленні і незчисленні (мал. 10). Кожна нескінченна множина називається зчисленною, якщо її елементи можна пронумерувати. Наприклад, множина натуральних чисел, множина квадратів натуральних чисел, множина парних чисел — усе це множини зчисленні. Нескінченна множина, яка не є зчисленною, називається незчисленною. Такою, наприклад, є множина всіх точок деякого відрізка, множина дійсних чисел тощо.
Зверніть увагу! У підручнику всі математичні об’єкти розглядають на множині дійсних чисел або її підмножинах.
1. Наведіть приклад множини. Які бувають множини?
2. Як позначають множини та їх елементи?
3. Як можна задавати множини?
4. Які множини називають рівними?
6. Що називають об’єднанням двох множин?
7. Що називають перерізом двох множин?
1. Запишіть усі підмножини множини М –
Розв’язання. Підмножинами даної множини є множини:, , , , , , , —.
2. Знайдіть об’єднання і переріз множин А і В, якщо А = , В = .
Розв’язання. Множину А можна задати переліком: А = , а В — це проміжок (-1; 10] ( мал. 11).
Оскільки А Б, то А ⋃ B = B = (-1;10], а А ⋂ B = А = .
3. Анкетування учнів 10 класу показало, що 8 із них мають вдома собаку, а 15 — кішку. Скільки учнів навчаються в цьому класі, якщо п’ятеро не мають тварин, а двоє мають і кішку, і собаку?
Спосіб 1. Розглянемо підмножини учнів 10 класу: А — множина учнів, які мають лише кішок. Вона має 13 елементів (15 – 2 = 13).
В — множина учнів, які мають лише собак. Вона має 6 елементів(8 – 2 = 6).
С — множина учнів, які мають і кішку, і собаку. Вона має 2 елементи.
D— множина учнів, які не мають тварин. Ця множина має 5 елементів. Оскільки множина всіх учнів 10 класу — це об’єднання множин А, В, С і D, то в 10 класі навчається:
Спосіб 2. Собаку або кішку мають:
Подібні задачі зручно розв’язувати на малюнках (мал. 12).
1. Провідміняйте слово множина, множини.
2. Скільки елементів має множина двоцифрових чисел, кратних 10? Назвіть її елементи.
3. Скільки елементів має множина коренів рівняння:
4.Знайдіть множину цілих чисел, які задовольняють умову:
5. Нехай Р — множина парних цілих чисел, а Н — непарних. Чому дорівнюють переріз і об’єднання цих множин?
6. Знайдіть переріз і об’єднання множин букв:
7. Яким може бути переріз і об’єднання множин точок:
8. Чим є переріз і об’єднання множин: а) натуральних чисел і цілих чисел; б) раціональних чисел та ірраціональних чисел?
б) множина людей, яких обслуговує банк;
г) множина тварин, які населяють певну територію;
ґ) множина музикантів, які виступають разом?
10. Розгадайте ребуси (мал. 13).
11. Випишіть усі елементи кожної з поданих нижче множин: А — множина назв днів тижня, В — множина кольорів світлофора, С — множина назв материків, D — множина цифр, Е — множина кольорів веселки.
12. Наведіть приклади множини, яка має:
13. Запишіть множину букв, якими записують ваше ім’я та прізвище.
14. Запишіть множину цифр, якими записують дату вашого народження (день, місяць і рік).
15. Задайте переліком елементів множину одноцифрових чисел, які діляться:
16. Випишіть усі підмножини для кожної з множин:
17. Випишіть усі підмножини для кожної з множин вправи 15.
18. Практичне завдання. Намалюйте два квадрати так, щоб їх перерізом і об’єднанням також був квадрат.
Зобразіть на числовій прямій множини (19—21).
Операції над множинами
Над множинами можна виконувати певні дії: перетин, об’єднання, знаходження різниці множин.
Дамо означення цих операцій і проілюструємо їх за допомогою кругів Ейлера —Венна.
Операція перетину множин
Перетином множин А і В називають їхню спільну частину, тобто множину C усіх елементів, що належать як множині А, так і множині В.
Перетин множин позначають знаком ∩ (на рисунку 3 наведено ілюстрацію означення перетину множин).
Наприклад, якщо A = , B = , то A ∩ B = .
Операція об’єднання множин
Об’єднанням множин А і В називають множину С, що складається з усіх елементів, які належать хоча б одній із цих множин (А або В). Об’єднання множин позначають знаком ∪ (на рисунку 4 наведено ілюстрацію означення об’єднання множин).
Наприклад, для множин A і B з попереднього прикладу A∪B = .
Якщо позначити множину ірраціональних чисел через M, то M∪Q = R.
Операція різниці множин
Різницею множин А і В називається множина С, яка складається з усіх елементів, які належать множині А і не належать множині В.
Різницю множин позначають знаком \ (на рисунку 5 наведеню ілюстрацію означення різниці множин).
Наприклад, якщо A = , B = , то A \ B = , а B \ A = .
Доповнення множини
Якщо B — підмножина A, то різницю A \ B називають доповненням множини B до множини A (рис. 6).
Наприклад, якщо знову позначити множину ірраціональних чисел через M, то
R \ Q = M: кажуть, що множина M ірраціональних чисел доповненням множини A називається множина, яка складається з усіх елементів, які не належать множині А,але які належать універсальній множині U.
Доповнення множини А позначають Ā (читають: «А з рискою» або «доповнення А»).
Наприклад, якщо U = R і A = [0; 1], то Ā = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) (Для цього прикладу зручно використати традиційну ілюстрацію множини дійсних чисел на числовій прямій — рис. 8).