Зміст:
✅Перпендикулярні прямі
Перпендикулярні прямі утворюють собою цілий пласт фігур, побудов і обчислень в геометрії. Без розуміння перпендикулярних прямих не вийде вирішувати такі фігури, як:
Тому варто особливу увагу приділити цим поняттям.
Що таке перпендикулярні прямі
При перетині двох прямих утворюється 4 кути. Визначення перпендикулярних прямих звучить так: це прямі, кут між якими дорівнює 90 градусам. Кутів всього 4, повний кут це 360 градусів. Якщо один з кутів дорівнює 90 градусам, то і 3 інших будуть по 90.
Щоб відрізки називалися перпендикулярними, так само повинно виконуватися дві умови: відрізки повинні перетинатися, а кут перетину між ними повинен дорівнювати 90 градусам.
Властивості
У перпендикулярних прямих не так багато властивостей. Всі вони не вимагають доказів, оскільки виходять з визначення перпендикулярності.
- Якщо кожна з двох прямих перпендикулярні третій, то ці прямі паралельні. А паралельні вони через те, що отримані односторонні кути будуть в сумі давати 180 градусів. А значить, прямі паралельні по 3 ознакою паралельності. Це властивість можна довести за допомогою одного з трьох ознак паралельності.
- Перпендикулярний відрізок від точки до прямої або відрізка буде називатися відстанню від точки до прямої.
- Відстань від прямої до прямої так само є перпендикуляром, опущеним з будь-якої точки однієї прямої на іншу пряму.
- Якщо протягом всієї довгі двох прямих відстань між ними не змінюється, то прямі будуть паралельними.
Фігури з перпендикулярними прямими
Однією з перших фігур, з якими знайомиться людина, є квадрат і прямокутник.
Прямі кути приємні людському погляду, тому дуже часто квадрат або прямокутник використовують як форму для стільниць, стільців, тумбочок і інших предметів. Весь навколишній світ людини складається з паралельних і перпендикулярних ліній.
Ще з часів Стародавньої Греції відомий прямокутний трикутник. Форму прямокутного трикутника брали різні прилади для навігації, крім того, багато часу вивченню властивостей прямокутного трикутника приділив Піфагор. Саме його авторству належить Теорема Піфагора, яка вкрай затребувана в розв’язанні задач.
Існує прямокутна трапеція, у якої одна зі сторін прямокутна обом підставою. А планіметрія і зовсім рясніє перпендикулярами в просторі: правильна призма, прямокутна піраміда і звичайний куб.
До того ж, в будь-якому трикутнику можна провести висоту, що необхідно для знаходження площі фігури. Перпендикуляр для знаходження площі стане в пригоді і в паралелограмі, а прямокутний трикутник і квадрат мають висоту в складі своїх сторін, через що площа цих фігур набагато простіше знайти.
Що ми дізналися?
Ми розібрали, що таке перпендикулярні прямі, поговорили про властивості перпендикулярів і описали фігури, для побудови яких необхідні перпендикулярні прямі. Розібралися в темі для повного розуміння при першій зустрічі з даним питанням в 6 класі.
ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 7 класів
Мета: домогтися засвоєння учнями означення перпендикулярних прямих, теореми про дві прямі перпендикулярні до третьої та схеми її доведення.
✵ відтворювати названі вище означення і теорему, доведення теореми;
✵ знаходити на готовому рисунку та будувати, використовуючи креслярське приладдя, перпендикулярні прямі та паралельні прямі;
✵ розв’язувати задачі, що передбачають застосування означення та властивість перпендикулярних прямих окремо і в комплексі із властивостями суміжних та вертикальних кутів.
Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок.
Наочність і обладнання: набір демонстраційного креслярського приладдя.
ІІ. Перевірка домашнього завдання
Перевірку домашнього завдання можна здійснити само- або взаємоперевіркою зошитів учнів за зразком.
1. Прямі AM і CE перетинаються в точці O, що лежить між точками A і M і між точками C і E. Чи утворились при цьому вертикальні кути? Якщо так, то назвіть їх. [Учень побудував два вертикальні кути. Скільки пар прямих при цьому утворилося?]
2. Яка градусна міра кута, якщо вертикальний з ним кут дорівнює 34°? [У двох кутів спільна вершина, кожен з них має градусні міру 60°. Чи обов’язково ці кути вертикальні? Зобразіть це на рисунку.]
3. Один з 4-х кутів, що утворилися при перетині двох прямих, дорівнює 140° [40°]. Яку градусну міру має кожний з решти кутів?
4. Два кути зі спільною вершиною рівні [не рівні]. Чи обов’язково вони вертикальні? [Чи вертикальні ці кути?]
5. У двох кутів спільна вершина. Один кут має 40°, другий 140°. Чи вертикальні ці кути? [Яку градусну міру має кут, що є вертикальним з прямим кутом?]
Після виконання завдань математичного диктанту, обов’язкова перевірка та обговорення.
ІІІ. Мотивація навчальної діяльності. Формулювання мети й завдань уроку
Мотивація здійснюється як під час перевірки домашнього завдання, так і під час перевірки виконання математичного диктанту (варіант 2, № 5).
Після обговорення можливості «особливого» способу перетину прямих учитель формулює дидактичну мету уроку та завдання на урок.
IV. Актуалізація опорних знань
1. Що можна сказати про кожний з вертикальних кутів, якщо їх сума:
а) більша за 180°; б) менша від 180°; в) дорівнює 180°?
2. Чи є на рисунку прямі кути? Скільки їх на кожному зображенні? Відповідь перевірте за допомогою транспортира та косинця.
3. Сформулюйте твердження, яке протилежне даному: а) дві прямі мають спільну точку; б) дві прямі паралельні; в) через дві точки можна провести пряму й тільки одну.
План вивчення нового матеріалу
1°. Означення перпендикулярних прямих; перпендикулярні відрізки та промені.
2°. Теорема про дві прямі, перпендикулярні до третьої.
3°. Застосування теореми про дві прямі, паралельні третій для побудови паралельних прямих за допомогою косинця і лінійки.
Як і в підручнику О. В. Погорєлова, у підручнику тема «Перпендикулярні прямі» логічно випливає з теми «Суміжні та вертикальні кути». Проте автори вважають за недоцільне розглядання на цьому етапі теореми про
існування та єдиність прямої, перпендикулярної до даної, що проходить через дану точку даної прямої. Замість неї, цілком виправдано подається теорема про дві прямі, перпендикулярні третій (у підручнику О. В. Погорєлова ця теорема є наслідком ознаки паралельності прямих). Тому доведення теореми про дві прямі, перпендикулярні третій, у підручнику є дещо нестандартним (використовується, окрім методу доведення від супротивного, симетрія відносно прямої в неявному вигляді).
Тому, щоб полегшити учням сприйняття доведення, можна організувати сумісну роботу вчителя та учнів із «конструювання» міркувань, наведених в доведенні теореми, наприклад, роздати учням прозорі плівки, на яких вони виконуватимуть рисунок до теореми та його «перегинання».
VI. Перевірка засвоєння знань
Виконання графічних вправ
Накресліть перпендикулярні прямі a і b, що перетинаються в точці O.
а) Позначте на прямій a точку B. За допомогою косинця проведіть через цю точку пряму c, перпендикулярну до прямої a.
б) Чи паралельні прямі b і c? Чому?
Виконання письмових вправ
1. Прямі a і b перпендикулярні. Пряма c проходить через точку їхнього перетину й утворює з прямою a кут 70°. Знайдіть кут між прямими c і b.
2. Дано прямі a, b, c і d, причому , , a||d. Доведіть, що прямі b і d паралельні.
3 (додаткова). Через точку перетину двох перпендикулярних прямих проведено третю пряму. Знайдіть найменший із тупих кутів, що утворилися в результаті перетину цих трьох прямих, якщо найбільший з утворених тупих кутів дорівнює 165°.
VII. Засвоєння вмінь та навичок
Одночасно з роботою із засвоєння нових знань бажано відпрацьовувати навички застосування матеріалу, який учні опанували на попередніх уроках.
Виконання письмових вправ
У результаті перетину двох прямих утворились 4 кути, кожен з яких менший від розгорнутого. Знайдіть градусну міру кожного кута, якщо:
а) сума двох кутів дорівнює 78°;
б) різниця двох кутів дорівнює 42°;
в) один з кутів у 5 разів менший від іншого;
г) один з кутів у 2 рази менший від суми двох інших;
д) сума трьох кутів дорівнює 300°;
е) сума трьох кутів більша від четвертого на 100°.
1. Кути 1 і 2 утворилися в результаті перетину двох не перпендикулярних прямих. Визначте, якими є дані кути—суміжними або вертикальними, якщо:
а) їхня сума більша за 180°;
б) лише один із них гострий;
в) їхня сума менша, ніж сума інших двох здобутих кутів.
2. α і β—градусні міри двох суміжних кутів. Чи можуть α і β бути градусними мірами двох вертикальних кутів? У якому випадку?
3. У результаті перетину двох прямих утворилися чотири кути, жоден із яких не є гострим. Під яким кутом перетинаються дані прямі?
Повторити раніше вивчену теорію за контрольними запитаннями.
1. Назвіть основні геометричні фігури на площині. Як вони позначаються?
2. Сформулюйте аксіому проведення прямої.
3. Сформулюйте аксіому розміщення точок на прямій.
4. Яка фігура називається променем (півпрямою)? Як позначаються промені?
5. Які промені називаються доповняльними?
6. Дайте означення відрізка. Як позначається відрізок?
7. Які відрізки називаються рівними? Як порівняти два відрізки?
8. Сформулюйте аксіоми вимірювання та відкладання відрізків. Як порівняти два відрізки із заданими довжинами?
9. Дайте означення середини відрізка.
10. Дайте означення кута. Як позначаються кути?
11. Який кут називається розгорнутим?
12. Які кути називаються рівними? Як порівняти два кути?
13. Сформулюйте аксіоми вимірювання та відкладання кутів. Як порівняти два кути із заданими градусними мірами?
14. Назвіть одиницю вимірювання кутів. Які кути називаються гострими, прямими, тупими?
15. Дайте означення бісектриси кута.
16. Дайте означення паралельних прямих. Назвіть два випадки взаємного розміщення прямих на площині. Які відрізки (промені) називаються паралельними?
17. Сформулюйте аксіому паралельних прямих. У чому полягає відмінність аксіом від теорем? Наведіть приклади аксіом із курсу геометрії.
18. Сформулюйте й доведіть теорему про дві прямі, паралельні третій.
19. У чому полягає метод доведення від супротивного? Опишіть етапи міркувань у ході доведення від супротивного.
20. Дайте означення суміжних кутів.
21. Сформулюйте й доведіть теорему про суміжні кути.
22. Сформулюйте наслідки теореми про суміжні кути.
23. Дайте означення вертикальних кутів.
24. Сформулюйте й доведіть теорему про вертикальні кути.
25. Дайте означення кута між прямими. Скільки гострих, тупих, прямих кутів може утворитися в результаті перетину двох прямих?
26. Дайте означення перпендикулярних прямих.
27. Сформулюйте й доведіть теорему про дві прямі, перпендикулярні до третьої.
Виконайте домашню самостійну роботу.
1. Кут, суміжний із кутом A, більший від кута, суміжного з кутом B. Порівняйте кути A і B.
2. Чи можуть градусні міри кутів, що утворилися при перетині двох прямих, відноситися як 2 : 3 : 2 : 4?
3. Кути 1 і 2 є суміжними, а кути 1 і 3 вертикальні. Порівняйте кути 2 і 3, якщо кут 1 гострий.
4. Через точку перетину двох перпендикулярних прямих проведено третю пряму. Скільки пар непрямих вертикальних кутів при цьому утворилося?
1. Кути 1 і 2 є суміжними, кути 2 і 3 також суміжні. Порівняйте кути 1 і 3.
2. Чи можуть градусні міри кутів, що утворилися при перетині двох прямих, відноситися як 7 : 3 : 7 : 2?
3. Кути 1 і 2 є суміжними, а кути 1 і 3 вертикальні. Порівняйте кути 2 і 3, якщо кут 1 тупий.
4. Через точку перетину двох перпендикулярних прямих проведено третю пряму. Скільки пар непрямих суміжних кутів при цьому утворилося?
1. Уроки геометрії. 7 клас./ С. П. Бабенко — Х.: Вид. група «Основа», 2007.— 208 с.
Перпендикулярні прямі. Паралельні прямі. 6 клас. Математика
Всі ви пам’ятаєте, що таке прямий кут. В математиці і в житті прямі кути зустрічаються досить часто. Якщо ви розглянете квадрат, то помітите, що сторони квадрата перетинаються під прямим кутом. Якщо розглянути залізничну колію, можна побачити, що рейки і шпали розташовані під прямим кутом один до одного; стіни будинку найчастіше роблять під прямим кутом до фундаменту і т. д.
Перпендикулярні прямі
У математиці є спеціальне позначення для прямих, які перетинаються під прямим кутом. Такі прямі називають перпендикулярними . Позначають символом: a⟂b (a перпендикулярна b).
Перпендикулярними бувають і відрізки.
Відрізки називаються перпендикулярними, коли прямі, які їх містять, перпендикулярні.
Дане твердження легко зрозуміти, згадавши квадрат – прямі, що містять сусідні сторони квадрата, перпендикулярні, значить, і відрізки (сторони) перпендикулярні.
Відрізки, показані на малюнку, також перпендикулярні. Чому?
Якщо ці відрізки продовжити до прямих, то прямі перетнуться під прямим кутом. Значить, якщо прямі перпендикулярні, то і відрізки теж перпендикулярні, хоча і не перетинаються.
Промені називають перпендикулярними, якщо прямі, що містять ці промені, перпендикулярні.
Побудова перпендикулярних прямих
- За допомогою косинця, так як дві його сторони утворюють прямий кут.
- За допомогою транспортира – відзначити кут 90° і провести прямі, які його утворюють.
- За допомогою циркуля і лінійки (з цим способом ви познайомитеся в 7 класі на уроці геометрії).
Особливість перпендикулярних прямих
Чому саме такий тип прямих виділили в окремий клас? Чому не говоримо окремо про прямі, які просто перетинаються одині з одними під якимось іншим кутом, наприклад 60°?
Відповідь наступна: при перетині прямих у нас утворюються кути, найчастіше вони не рівні.
Але якщо ми говоримо про перпендикулярні прямі, то це єдиний випадок, коли утворилися кути рівні між собою – всі вони прямі.
Саме тому ці прямі і виділили, тим більше в житті ми з ними стикаємося частіше, ніж з прямими, які перетинаються під будь-яким іншим кутом.
Запитання, пов’язані з перпендикулярними прямими
На деякій прямій позначили точку.
Скільки прямих можна провести через цю точку так, щоб вони були перпендикулярні заданій прямій?
Відповідь: тільки одну. Потрібно з допомогою кутника і провести відповідну пряму.
Скільки прямих проходять через цю точку так, що вони перпендикулярні заданій прямій?
Відповідь: одна пряма. Знову ж таки, це можна зробити за допомогою кутника.
Паралельні прямі
Ми говорили про прямі, які перетинаються. Але буває ж так, що прямі не перетинаються. З цим ми стикаємося і в житті – у лижників під час спуску права лижня і ліва не перетинаються; або доріжки в басейні – вони також не перетинаються; або залізнична колія – рейки не перетинаються. Для непересічних прямих також є спеціальна назва.
Прямі на площині, які не перетинаються, називаються паралельними.
Дуже важливо тут додати «на площині», тому що, коли в 10 класі ви зіткнетеся з прямими в просторі, виявиться, що є прямі, які не перетинаються, але і не є паралельними. Зараз же мова йде про площину, і на площині є два випадки: прямі або перетинаються, або паралельні (не перетинаються).
Паралельні прямі позначають символом: a II b (a паралельна b).
За аналогією з перпендикулярними відрізками і променями є також визначення паралельних відрізків і променів.
Відрізки називаються паралельними, якщо вони лежать на паралельних прямих.
Промені називаються паралельними, якщо вони лежать на паралельних прямих.
Таким чином, коли ми говоримо про доріжки в басейні, мова йде скоріше про паралельні відрізки (доріжки обмежені), ніж про прямі.
Запитання, пов’язані з паралельними прямими
Чи вірно, що якщо два відрізки не перетинаються, то вони паралельні?
Відповідь: ні, не вірно. Наведемо приклад.
Ці два відрізки не перетинаються, але вони не є паралельними, так як прямі, що містять їх, перетинаються. Аналогічно з променями – якщо промені не перетинаються, вони не обов’язково паралельні.
Можна згадати приклади, які ми наводили на початку уроку – промені і відрізки не перетиналися, але і не були паралельними, тому що вони перпендикулярні.
Побудова паралельних прямих
Розглянемо конструкцію, що складається з трьох прямих a, b і c, де a ⊥ b, c ⊥ b.
Тоді, що ми можемо сказати про прямі а і с? Судячи по картинці, вони паралельні. Довести ми цього поки не можемо, але тим не менше це якраз і є спосіб побудови паралельних прямих. Тобто паралельні прямі будуються через перпендикулярність – спочатку проводять пряму, перпендикулярну заданій, (в нашому випадку a ⊥ b), а потім проводять пряму, перпендикулярну другій (в нашому випадку c ⊥ b).
Відзначимо, що з зазначених фактів випливає паралельність протилежних сторін квадрата і прямокутника – вони перпендикулярні одній і тій же стороні.
Є ще один цікавий факт. Проведемо дві паралельні прямі, а також третю пряму, яка паралельна першій, тобто a II b, a II c.
Судячи по малюнку b II c теж. Цей факт вірний, але, знову ж таки, доводити ми його будемо в 7 класі.
Висновок: на цьому уроці ми познайомилися з поняттями паралельних і перпендикулярних прямих; ми з’ясували, які відрізки і промені називають перпендикулярними, а які – паралельними; дізналися, як будуються перпендикулярні та паралельні прямі.
Домашнє завдання: Збірник. Мерзляк 220-224 (І варіант)