1. Паралельність прямих, прямої та площини

Дві прямі в просторі називаються паралельними , якщо вони лежать в одній площині та не перетинаються.

1. Якщо прямі \(a\) і \(b\) паралельні, із визначення випливає, що через них можна провести площину α .

2. Щоб довести, что така площина тільки одна, на прямій \(a\) позначаємо точки \(B\) і \(C\), а на прямій \(b\) — точку \(A\).

3. Оскільки через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести тільки одну площину (2 аксіома), то α — єдина площина, якій належать прямі \(a\) і \(b\).

Теорема 2. Через будь-яку точку простору поза даною прямою можна провести пряму, паралельну даній прямій, і до того ж тільки одну.

2. Така площина тільки одна, оскільки через пряму і точку, що не лежить на прямій, можна провести площину, до того ж тільки одну.

3. А в площині α через точку \(M\) можна провести тільки одну пряму \(b\), що паралельна прямій \(a\).

Теорема 3. Якщо одна з двох паралельних прямих перетинає дану площину, то й інша пряма перетинає цю площину.

Розглянемо дві паралельні прямі \(a\) і \(b\) і припустимо, що пряма \(b\) перетинає площину α в точці \(M\) (1. рис.).

З 1-ої теореми відомо, що через паралельні прямі \(a\) і \(b\) можна провести тільки одну площину β .

Оскільки точка \(M\) розташована на прямій \(b\), то \(M\) також належить площині β (2. рис.). Якщо площини α і β мають спільну точку \(M\), то у цих площин є спільна пряма \(c\), яка є прямою перетину цих площин (4 аксіома).

Якщо в цій площині одна з паралельних прямих \(b\) перетинає пряму \(c\), то друга пряма \(a\) також перетинає \(c\).

Оскільки точка \(K\) розміщена на прямій \(c\), то \(K\) розміщена в площині α і буде єдиною спільною точкою прямої \(a\) і площини α .

Через точку \(M\) і пряму \(a\), яка не містить цю точку, можна провести тільки одну площину α (Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести тільки одну площину).

Отже, пряма \(c\), що паралельна прямій \(b\), також перетинає площину α . Оскільки a ∥ c , то виходить, що \(a\) також перетинає цю площину. Але пряма \(a\) не може одночасно перетинати площину α і лежати у площині α . Маємо суперечність, отже, припущення, що пряма \(b\) перетинає площину α , є неправильним.

Це означає, що через точку \(L\) проведено дві прямі \(a\) і \(b\), паралельні прямій \(c\). Але відповідно до другої теореми це неможливо. Тому припущення неправильне, і прямі \(a\) і \(b\) не мають спільних точок.

Оскільки прямі \(a\) і \(b\) містяться в одній площині α і не мають спільних точок, то вони паралельні.

2) Паралельності прямих у просторі притаманна транзитивність: якщо a ∥ b і b ∥ c , то a ∥ c .

Одна сторона параллелограма перетинає площину. Доведіть, що пряма, що містить протилежну сторону паралелограма, також перетинає цю площину.

Оскільки протилежні сторони паралелограма паралельні, то, відповідно до третьої теореми, пряма, що містить сторону \(CD\), також перетинає площину α .

Відповідно до аксіом, якщо дві точки прямої містяться в деякій площині, то пряма лежить у цій площині. З цього виходить, що можливі три випадки взаємного розташування прямої та площини у просторі:

Теорема 5 «Ознака паралельності прямої і площини».
Якщо пряма, що не лежить у даній площині, паралельна будь-якій прямій з цієї площини, то ця пряма паралельна даній площині.

Доведення:
Доведення проведемо від супротивного. Нехай \(a\) не паралельна площині α , тоді пряма \(a\) перетинає площину в якійсь точці \(A\). Причому \(A\) не лежить на \(b\), оскільки a ∥ b . Відповідно до ознаки прямих, що перетинаються, прямі \(a\) і \(b\) перетинаються.

Ми дійшли до суперечності. Оскільки a ∥ b , вони не можуть перетинатися. Отже, пряма \(a\) паралельна площині α .

Теорема 6.
Якщо площина β проходить через дану пряму \(a\), паралельну площині α , і перетинає цю площину по прямій \(b\), то b ∥ a .

Що можна провести через три точки що не лежать на одній прямій

Генерувати – виконується постановка задачі (у довільні поля вносяться випадкові числа. Задача має єдиний розв’язок)
Розрахувати – перевіряється правильність розв’язування довільної задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Перевірити – перевіряється правильність розв’язування згенерованої задачі (Виводиться повідомлення про неправильні значення)
Мінікалькулятор дозволяє виконувати прості розрахунки. Виберіть, при потребі, функцію. Внесіть у перше поле вираз (в тому числі і з дужками)
2*(2+2) . Натисніть = і результат з’явиться у другому полі. Кнопка 0 дозволяє округлити результат до чотирьох значущих цифр. Кнопка

Якщо A α , A β , тоді
a, A a, α∩β=a
Рис. 2. До аксіоми С2

Якщо a∩b=A , тоді
!a, a α, b α
Рис. 3. До аксіоми С3

Означення . Стереометрія — це розділ геометрії, у якому вивчаються фігури у просторі.

Основними фігурами у просторі є точка, пряма і площина. Введення нового геометричного образу – площини, потребує розширення системи аксіом, тому ми вводимо групу аксіом С, яка виражає основні властивості площин у просторі.

С1 . Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, які не належать їй (Рис. 1).

С2 . Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій (Рис. 2).

С3 . Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну (Рис. 3).

Зауваження . У планіметрії ми мали одну площину, на якій розміщувались усі розглядувані нами фігури. У стереометрії нескінченно багато площин. У зв’язку з цим формулювання деяких аксіом потребують уточнення.

ІІ2 . Пряма, яка належить площині, розбиває цю площину на дві півплощини.

IV2 . Від півпрямої на площині, яка містить її, у задану півплощину можна відкласти кут заданої градусної міри, меншої 180°, і до того ж тільки один.

IV3 . Який би не був трикутник, існує трикутник, що дорівнює йому, у даній площині із заданим розміщенням відносно даної пів прямої на цій площині.

V . На площині через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній.

A, B, C – не лежать на одній прямій,
тоді !α, A α, B α, C α
Рис. 6. Площина, проведена
через три точки

Якщо A a, B a, A α, B α
,тоді a α
Рис. 5. Пряма, яка проходить
через дві точки площини

Якщо A a , тоді
!α , a α, A α
Рис. 4. Площина, проведена
через пряму та точку

Теорема . Через пряму і точку, яка не лежить на ній, можна провести площину і до того ж тільки одну (Рис. 4).

Теорема . Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині (Рис. 5).

3 теореми випливає, що площина і пряма, яка не лежить на ній, або не перетинаються, або перетинаються в одній точці.

Теорема . Через три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести площину і до того ж тільки одну (Рис. 6).

Означення . Дві прямі в просторі називаються паралельними , якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються (Рис. 7).

Означення . Прямі, які не перетинаються і не лежать в одній площині, називаються мимобіжними (Рис. 8).

Теорема . Через точку поза даною прямою можна провести пряму, паралельну цій прямій, і до того ж тільки одну (Рис. 9).

Теорема . Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою (Рис. 10).

Якщо a α, b α, a∩b=A,
β||a, β||b , тоді β||α
Рис. 14. Площина паралельна
до двох прямих другої площини

Якщо α||β, a||b, a∩α=A 1 ,
a∩β=A 2 , b∩α=B 1 , b∩β=B 2 ,
тоді A 1 A 2 = B 1 B 2
Рис. 17. Паралельні площини
перетинають паралельні прямі

Означення . Пряма і площина називаються паралельними , якщо вони не перетинаються (Рис. 11).

Теорема . Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині (Рис. 12).

Означення . Дві площини називаються паралельними , якщо вони не перетинаються (Рис. 13).

Теорема . Дві площини паралельні, якщо одна з них паралельна двом прямим, які лежать у другій площині і перетинаються (Рис. 14).

Теорема . Через точку поза даною площиною можна провести площину, паралельну даній, і до того ж тільки одну (Рис. 15).

Теорема . Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі їх перетину паралельні (Рис. 16).

Теорема . Відрізки паралельних прямих, які містяться між паралельними площинами, рівні (Рис. 17).

Для зображення просторових фігур на площині, як правило, користуються паралельним проектуванням. Через кожну точку фігури у просторі проводимо паралельні прямі, які не є паралельними деякій площині. Ці прямі перетнуть обрану площину утворивши деяку фігуру на ній (Рис. 18). Такий спосіб зображення просторової фігури на площині називається паралельним проектуванням.

Властивості паралельного проектування:

– Прямолінійні відрізки фігури зображуються на площині малюнка прямолінійними відрізками.

– Паралельні відрізки фігури зображуються на площині малюнка паралельними відрізками, або відрізками, що лежать на одній прямій.

– Відношення відрізків однієї прямої або паралельних прямих зберігається при паралельному проектуванні.

Якщо b 1 ∩b 2 =B, b 1 ||a 1 , b 2 ||a 2 , a 1 a 1 , тоді b 1 b 2
Рис. 20. Прямі, які паралельні
до перпендикулярних прямих

Означення. Дві прямі називаються перпендикулярними , якщо вони перетинаються під прямим кутом (Рис. 19).

Теорема. Прямі, які перетинаються і відповідно паралельні перпендикулярним прямим, перпендикулярні (Рис. 20).

Означення. Пряма, яка перетинає площину, називається перпендикулярною до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у площині й проходить через точку перетину даної прямої з площиною (Рис. 21).

1. Якщо a||b, a α , тоді b α
2. Якщо a α, b α , тоді a||b
Рис. 23. Дві прямі
перпендикулярні до площини

Якщо b∩α=A, b a 1 , b a 2 ,
A a 1 , A a 2 , , тоді b α
Рис. 22. Пряма перпендикулярна
до прямих на перпендикулярній площині

Рис. 21. Пряма перпендикулярна
до площини

Теорема. Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що проходять через точку перетину, то вона перпендикулярна до площини (Рис. 22).

Теорема. Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої прямої (Рис. 23).

Теорема. Дві прямі, перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, паралельні (Рис. 23).

1. Якщо a α, C α, a BC, ,
тоді a AC
2. Якщо a α, C α, a AC, ,
тоді a BC
Рис. 27. Теорема
про три перпендикуляри

Рис. 26. Відстань
від прямої до площини

Рис. 24. Перпендикуляр до площини.
Відстань від точки до площини

Означення . Перпендикуляром , опущеним з даної точки на дану площину, називається відрізок, що сполучає дану точку з точкою площини і лежить на прямій, перпендикулярній до площини. Кінець цього відрізка, який лежить у площині, називається основою перпендикуляра (Рис. 24).

Означення . Відстанню від даної точки до площини називається довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину (Рис. 24).

Означення . Похилою , проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, який сполучає дану точку з точкою площини і не є перпендикуляром. Кінець відрізка, що лежить у площині, називається основою похилої (Рис. 25).

Означення . Відстанню від прямої до паралельної площини називається відстань від будь-якої її точки до цієї площини (Рис. 26).

Теорема. (про три перпендикуляри) . Пряма, проведена на площині через основу похилої перпендикулярно до її проекції, перпендикулярна і до самої похилої. І навпаки, якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна до проекції похилої (Рис. 27).

Якщо α β, α∩β=b, a α, a β, , тоді α β
Рис. 30. Пряма перпендикулярна
до прямої перетину
перпендикулярних площин

Якщо a α, a β , тоді α β
Рис. 29. Площина проходить
через пряму перпендикулярну
до другої площини

Рис. 28. Перпендикулярні площини

Означення . Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними , якщо будь-яка площина, перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих (Рис. 28).

Теорема . Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то ці площини перпендикулярні (Рис. 29).

Теорема . Якщо пряма, яка лежить в одній з двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна до другої площини (Рис. 30).

Рис. 32. Відстань між
мимобіжними прямими

Рис. 31. Спільний перпендикуляр

Означення . Спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок з кінцями на цих прямих, перпендикулярний до кожної з них (Рис. 31).

Теорема . Дві мимобіжні прямі мають спільний перпендикуляр і до того ж тільки один. Він є спільним перпендикуляром до паралельних площин, які проходять через ці прямі (Рис. 31).

Означення . Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра. Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які проходять через ці прямі (Рис. 32).

Рис. 37. Ортогональна
проекція многокутника

Рис. 35. Кут між
прямою та площиною

Рис. 34. Кут між
мимобіжними прямими

Рис. 33. Суміжні
та вертикальні кути

Означення . Дві прямі, що перетинаються, утворюють суміжні й вертикальні кути (Рис. 33).

Теорема . Вертикальні кути рівні, а суміжні доповнюють один одного до 180°.

Означення . Кутова міра меншого з кутів під якими перетинаються дві прямі називається кутом між прямими.

Кут між перпендикулярними прямими дорівнює 90° за означенням. Кут між паралельними прямими вважаємо таким, що дорівнює нулю.

Означення . Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим. Цей кут не залежить від вибору прямих, що перетинаються (Рис. 34).

Означення . Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою і її проекцією на площину (Рис. 35).

Кут між паралельними прямою і площиною вважаємо таким, що дорівнює нулю, а кут між перпендикулярними прямою і площиною дорівнює 90°. Оскільки пряма а, її проекція а на площину а і перпендикуляр до площини а в точці її перетину з прямою а лежать в одній площині, то кут між прямою і площиною доповнює до 90° кут між цією прямою і перпендикуляром до площини. Кут між паралельними площинами вважається таким, що дорівнює нулю.

Означення . Кутом між двома площинами називається кут між прямими, які утворюються при перетині даних площин третьою, яка проведена перпендикулярно до прямої перетину перших двох площин (Рис. 36).

Означення . Ортогональною проекцією фігури на дану площину називається її паралельна проекція, напрям якої перпендикулярний до цієї площини (Рис. 37).

Теорема . Площа ортогональної проекції многокутника на площину дорівнює добутку його площі на косинус кута між площиною многокутника і площиною проекції.