§ 20. Математичний і пружинний маятники. Енергія коливань
Коливальні рухи дуже різноманітні. Однак існує «класика» коливальних рухів — вони описані сотні років тому, їх вивченням займалися Ґалілео Ґалілей (1564-1642) і Крістіан Гюйґенс (1629-1695). Це — коливання пружинного та математичного маятників. Саме з коливаннями таких маятників ви ознайомитесь у цьому параграфі.
1. Коливання пружинного маятника
Пружинний маятник — це коливальна система, яка являє собою тіло, закріплене на пружині.
Розглянемо коливання горизонтального пружинного маятника — візка масою m, прикріпленого до вертикальної стіни пружиною жорсткістю k. Будемо вважати, що сили тертя, які діють у системі, нехтовно малі, тоді коливання маятника будуть незатухаючими (їх амплітуда з часом не змінюватиметься, а повна механічна енергія системи зберігатиметься). При цьому потенціальна енергія деформованої пружини буде перетворюватися на кінетичну енергію руху візка, і навпаки.
Коливання пружинного маятника
Зверніть увагу! Протягом усього часу коливання сила пружності напрямлена в бік, протилежний зміщенню візка, — весь час сила пружності «штовхає» візок до положення рівноваги.
Отже, вільні коливання пружинного маятника мають такі причини:
1) сила, що діє на тіло, завжди напрямлена до положення рівноваги;
2) тіло, що коливається, є інертним, тому воно не зупиняється в положенні рівноваги (коли рівнодійна сил стає рівною нулю), а продовжує рух у тому самому напрямку.
2. Як визначити період коливань пружинного маятника
Зверніть увагу! Період коливань пружинного маятника не залежить ані від амплітуди коливань, ані від того, де відбуваються ці коливання (на поверхні Землі, у космічному кораблі чи на поверхні Місяця), — він визначається тільки власними характеристиками коливальної системи «тіло — пружина». Якщо період Т коливань тіла та жорсткість k пружини відомі, можна знайти масу m тіла. Такий спосіб визначення маси використовують у стані невагомості, коли звичайні ваги не працюють.
3. Що називають математичним маятником
Будь-яке тверде тіло, яке здійснює або може здійснювати коливання відносно осі, що проходить через точку підвісу, називають фізичним маятником. Прикладом може слугувати іграшка, підвішена на нитці в салоні автомобіля. Якщо іграшку вивести з положення рівноваги, вона почне коливатися. Проте вивчати такі коливання доволі складно: їх характер визначається розмірами та формою іграшки, властивостями нитки та іншими чинниками.
Щоб розміри тіла не впливали на характер його коливань, слід узяти нитку, довжина якої набагато більша за розміри тіла, а маса незначна порівняно з його масою. У такому випадку тіло можна вважати матеріальною точкою. А щоб під час коливань тіло весь час перебувало на однаковій відстані від точки підвісу, нитка має бути нерозтяжною. У такий спосіб буде створено фізичну модель — математичний маятник.
Математичний маятник — це фізична модель коливальної системи, яка складається з матеріальної точки, підвішеної на невагомій і нерозтяжній нитці, та гравітаційного поля.
4. Коливання математичного маятника
Візьмемо невелику, але досить важку кульку та підвісимо її на довгій нерозтяжній нитці — такий маятник можна вважати математичним. Якщо відхилити кульку від положення рівноваги та відпустити, то внаслідок дії гравітаційного поля Землі (сили тяжіння) та сили натягу нитки кулька почне коливатися біля положення рівноваги. Оскільки опір повітря нехтовно малий, а сили, що діють у системі, є консервативними, повна механічна енергія кульки буде зберігатися. При цьому потенціальна енергія піднятої кульки буде перетворюватися на її кінетичну енергію, і навпаки.
Рис. 20.2. Коливання математичного маятника є вільними, оскільки відбуваються під дією внутрішніх сил системи. Причини, завдяки яким математичний маятник здійснює вільні коливання, ті самі, що й у випадку коливань пружинного маятника: 1) рівнодійна сил, прикладених до тіла, завжди напрямлена до положення рівноваги; 2) тіло, що коливається, є інертним
• Розгляньте коливальний рух кульки (рис. 20.2), поясніть причини її руху та з’ясуйте, які перетворення енергії відбуваються.
5. Як обчислити період коливань математичного маятника
Можна довести, що математичний маятник, відхилений від положення рівноваги на невеликий кут (3-5°), здійснюватиме гармонічні коливання, тобто прискорення його руху весь час буде прямо пропорційне зміщенню та напрямлене в бік, протилежний зміщенню: ах = -ω 2 x.
де l — довжина маятника; g — прискорення вільного падіння.
Цю формулу вперше одержав у XVII ст. голландський учений Крістіан Гюйґенс, тому її називають формулою Гюйґенса.
Період коливань математичного маятника не залежить від маси маятника, а визначається лише довжиною нитки та прискоренням вільного падіння в тому місці, де розташований цей маятник. Тому, вимірявши довжину нитки та період коливань маятника, можна визначити прискорення вільного падіння в даній місцевості (див. лабораторну работу № 5).
6. Учимося розв’язувати задачі
Підбиваємо підсумки
• У ході вільних коливань маятника його потенціальна та кінетична енергії безперервно змінюються. Потенціальна енергія є максимальною в точках повороту й дорівнює нулю в момент проходження маятником положення рівноваги. Кінетична енергія в точках повороту дорівнює нулю й сягає максимального значення в момент проходження маятником положення рівноваги.
Контрольні запитання
1. Опишіть коливання пружинного маятника. Чому тіло не зупиняється, коли проходить положення рівноваги? 2. За якою формулою визначають період коливань пружинного маятника? 3. Дайте означення математичного маятника. 4. Опишіть коливання математичного маятника. За якою формулою визначають період його коливань? 5. Які перетворення енергії відбуваються під час коливань пружинного маятника? математичного маятника? 6. У якому положенні потенціальна енергія маятника сягає максимального значення? мінімального? Що можна сказати про кінетичну енергію маятника в ці моменти?
1. У системі «візок — пружина» відбуваються вільні коливання. Збільшиться чи зменшиться період цих коливань, якщо: 1) збільшити амплітуду коливань? 2) зменшити масу візка? 3) збільшити жорсткість пружини?
2. Чи відбуватимуться коливання математичного маятника в невагомості? Відповідь обґрунтуйте.
3. Як зміниться хід маятникового годинника, якщо його з теплої кімнати винести в холодну комору? підняти з першого поверху хмарочоса на дах?
4. Якою є маса тіла, підвішеного на пружині жорсткістю 40 Н/м, якщо після відхилення тіла від положення рівноваги воно здійснює 8 коливань за 12 с?
5. На яку максимальну висоту відхиляється математичний маятник, якщо в момент проходження положення рівноваги він рухається зі швидкістю 0,2 м/с? Якою є довжина маятника, якщо період його коливань — 2 с?
6. Рівняння коливань пружинного маятника масою 5 кг має вигляд: х = 0,2соs10пt. Визначте: 1) циклічну частоту та період коливань маятника; 2) жорсткість пружини маятника; 3) повну механічну енергію коливань; 4) зміщення, кінетичну та потенціальну енергії маятника через 0,025 с.
7. Спостерігаючи коливання великої люстри в Пізанському кафедральному соборі, яка розгойдувалася через протяг, Ґ. Ґалілей виміряв період її коливань і встановив. Скористайтеся додатковими джерелами інформації та дізнайтеся: 1) що встановив Ґ. Ґалілей; 2) як він вимірював період коливань без годинника; 3) яким є період коливань великої люстри (для цього знайдіть інформацію про довжину підвісу).
Експериментальне завдання
Виготовте маятник, закріпивши на довгій нитці достатньо важке тіло, і виміряйте прискорення вільного падіння у вашому будинку. Переконайтеся, що воно дійсно приблизно дорівнює 9,8 м/с 2 .
§ 16. Потенціальна енергія. Закон збереження механічної енергії
Піднятий на деяку висоту важкий молот не має кінетичної енергії, бо швидкість його руху дорівнює нулю. Проте, якщо молот відпустити, він виконає роботу, наприклад розплющить метал. Натягнута тятива лука теж не має кінетичної енергії, але, випрямляючись, тятива надасть швидкості стрілі, а отже, виконає роботу. І деформоване тіло, і тіло, підняте над поверхнею Землі, здатні виконати роботу, тобто мають енергію. Що це за енергія і як її обчислити?
1. Коли тіло має потенціальну енергію
Механічна енергія Е — це фізична величина, яка характеризує здатність тіла (системи тіл) виконати роботу.
Одиниця енергії в СІ (як і роботи) — джоуль [Е] = 1 Дж (J).
Будь-яке тіло, що рухається, може виконати роботу, оскільки воно має кінетичну енергію, або «живу силу», як її називали раніше. Є ще один вид механічної енергії — її називали «мертва сила». Це — потенціальна енергія (від латин. potentia — сила, можливість), — енергія, яку має тіло в результаті взаємодії з іншими тілами.
Потенціальна енергія Ер — це енергія, яку має тіло внаслідок взаємодії з іншими тілами або внаслідок взаємодії частин тіла між собою.
Дівчинка на вершині гірки (рис. 16.1, а) має потенціальну енергію, бо в результаті взаємодії із Землею може почати рух і сила тяжіння виконає роботу. Але як обчислити цю роботу, адже гірка нерівна й тому протягом усього часу руху кут між напрямком сили тяжіння і напрямком переміщення змінюватиметься?
Рис. 16.1. І дівчинка внаслідок взаємодії із Землею (а), і стиснена пружина внаслідок взаємодії її витків (б) мають потенціальну енергію
Стиснена пружина (рис. 16.1, б) теж має потенціальну енергію, оскільки при розпрямленні пружини сила пружності виконає роботу — підкине цеглину. Але як обчислити цю роботу, адже під час дії пружини на цеглину сила пружності безперервно зменшується?
Виявляється, все не так складно. І сила тяжіння, і сила пружності мають одну «чудову» властивість — робота цих сил не залежить від форми траєкторії.
Сили, робота яких не залежить від форми траєкторії, а визначається тільки початковим і кінцевим механічними станами тіла (системи тіл), називають консервативними, або потенціальними, силами (від латин. conservare — зберігати, охороняти).
2. Потенціальна енергія піднятого тіла
Доведемо, що сила тяжіння є консервативною силою. Для цього визначимо роботу сили тяжіння під час руху тіла з точки К у точку В різними траєкторіями.
Випадок 1. Нехай траєкторія руху тіла — «сходинка» (рис. 16.2, а): спочатку тіло падає з деякої висоти h0 до висоти h і сила тяжіння виконує роботу A1, потім тіло рухається горизонтально і сила тяжіння виконує роботу A2. Робота — величина адитивна, тому загальна робота А = А1 + А2. A1 = Fтяжs1соs α, де Fтяж = mg, s1 = h0 – h, cos α = 1 (α = 0), тому А1 = mg(h0 – h) = mgh0 – mgh; A2 = 0, оскільки сила тяжіння перпендикулярна до переміщення тіла. Отже:
Випадок 2. Нехай тіло переміщується з точки К у точку В, зісковзуючи похилою площиною (рис. 16.2, б). У цьому випадку робота сили тяжіння становить: А = mgscos α = mg(h0 – h) = mgh0 – mgh.
Рис. 16.2. У випадку переміщення тіла з висоти h0 до висоти h робота сили тяжіння, незалежно від траєкторії руху тіла, визначатиметься за формулою: А = mgh0 – mgh
Той самий результат отримаємо й для випадків переміщення тіла довільною траєкторією.
Отже, робота сили тяжіння не залежить від траєкторії руху тіла, тобто сила тяжіння — консервативна сила.
Величину mgh називають потенціальною енергією піднятого тіла:
Потенціальна енергія піднятого тіла залежить від висоти, на якій перебуває тіло, тобто залежить від вибору нульового рівня, — рівня, від якого буде відлічуватися висота. Нульовий рівень обирають з міркувань зручності. Так, перебуваючи в кімнаті, за нульовий рівень доцільно взяти підлогу, визначаючи висоту гори — поверхню Світового океану. Зверніть увагу! Зміна потенціальної енергії, а отже, і робота сили тяжіння від вибору нульового рівня не залежать.
3. Потенціальна енергія пружно деформованого тіла
Нехай є пружно деформоване тіло, наприклад розтягнута пружина. Визначимо роботу, яку виконає сила пружності під час зменшення видовження пружини від х0 до х (рис. 16.3).
Рис. 16.3. Якщо пружину звільнити, то, стискаючись, вона виконає роботу (надасть руху візку), при цьому деформація пружини зменшиться
Для цього скористаємося геометричним змістом механічної роботи (рис. 16.4):
Рис. 16.4. Сила пружності лінійно залежить від видовження (Fпруж = kx ), тому графік залежності Fпруж(х) — відрізок прямої, а робота сили пружності чисельно дорівнює площі трапеції під графіком
Отже, робота сили пружності визначається тільки початковим і кінцевим станами пружини, тобто сила пружності — консервативна сила. Величину kx 2 /2 називають потенціальною енергією пружно деформованого тіла:
Робота сили пружності (як і робота сили тяжіння) дорівнює зміні потенціальної енергії тіла, взятій із протилежним знаком:
Останній вираз — математичний запис теореми про потенціальну енергію: робота всіх консервативних сил, які діють на тіло, дорівнює зміні потенціальної енергії тіла, взятій із протилежним знаком.
Стан із меншою потенціальною енергією є енергетично вигідним; будь-яка замкнена система прагне перейти в такий стан, у якому її потенціальна енергія є мінімальною, — у цьому полягає принцип мінімуму потенціальної енергії. Дійсно, камінь, випущений з руки, ніколи не полетить угору — він падатиме, прагнучи досягнути стану з найменшою потенціальною енергією. Недеформована пружина ніколи не почне розтягуватись або стискатись сама, а деформована прагне перейти в недеформований стан.
4. Закон збереження повної механічної енергії
Часто тіло чи система тіл мають і потенціальну, і кінетичну енергії.
Суму кінетичної і потенціальної енергій системи називають повною механічною енергією системи тіл (рис. 16.5):
Рис. 16.5. Повна механічна енергія Е системи тіл дорівнює сумі потенціальної енергії Ер (визначається взаємним розташуванням тіл системи) і кінетичної енергії Еk (визначається швидкістю руху тіл системи)
Розглянемо замкнену систему тіл, які взаємодіють одне з одним тільки консервативними силами (силами тяжіння або силами пружності). Згідно з теоремою про потенціальну енергію робота А, виконувана цими силами, дорівнює: А = Ер0 – Ер. З іншого боку, відповідно до теореми про кінетичну енергію ця сама робота дорівнює: А = Ek – Ek0. Зрівнявши праві частини рівностей, отримаємо закон збереження повної механічної енергії:
У замкненій системі тіл, які взаємодіють тільки консервативними силами, повна механічна енергія залишається незмінною (зберігається):
Закон збереження повної механічної енергії передбачає перетворення кінетичної енергії на потенціальну й навпаки (рис. 16.6). Однак чи зберігається при цьому повна механічна енергія? Наш досвід підказує, що ні.
Рис. 16.6. Перетворення одного виду механічної енергії на інший вид спостерігаються всюди
Річ у тім, що закон збереження повної механічної енергії виконується тільки в тому випадку, якщо в системі відсутнє тертя. Однак у природі не існує рухів, які не супроводжуються тертям. Сила тертя завжди напрямлена проти руху тіла, тому під час руху вона виконує від’ємну роботу, при цьому повна механічна енергія системи зменшується:
де Атертя — робота сили тертя; Е — повна механічна енергія системи наприкінці спостереження; E0 — повна механічна енергія системи на початку спостереження.
Втрати енергії спостерігаються й у випадку непружного удару.
Тож у разі наявності тертя або в разі непружної деформації енергія безслідно зникає? Здавалося б, так. Однак вимірювання показують, що і внаслідок тертя, і внаслідок непружного удару температура тіл, що взаємодіють, збільшується, тобто збільшується їх внутрішня енергія. Отже, кінетична енергія не зникає, а перетворюється на внутрішню енергію.
Енергія нікуди не зникає й нізвідки не з’являється: вона лише перетворюється з одного виду на інший, передається від одного тіла до іншого.
5. Учимося розв’язувати задачі
Задача. Знайдіть мінімальну швидкість, яку слід надати підвішеній на нитці кульці, за якої вона зможе здійснити повний оберт у вертикальній площині. Довжина нитки дорівнює 0,5 м; опором повітря знехтуйте.
• Опором повітря нехтуємо, тому система «кулька — нитка — Земля» є замкненою і можна скористатися законом збереження механічної енергії.
• За нульовий рівень оберемо найнижче положення кульки.
• У найвищій точці траєкторії кулька має певну швидкість, інакше вона не продовжила б обертатися, а почала б падати вертикально вниз.
• Для визначення швидкості руху кульки в найвищій точці траєкторії скористаємося означенням доцентрового прискорення та другим законом Ньютона.
• Необхідно знайти мінімальну швидкість руху кульки в момент поштовху, тому зрозуміло, що в найвищій точці траєкторії нитка натягнута не буде, тобто сила її натягу дорівнюватиме нулю.
Підбиваємо підсумки
• Механічна енергія Е — це фізична величина, яка характеризує здатність тіла (системи тіл) виконати роботу. Повна механічна енергія системи тіл складається з кінетичних енергій руху тіл цієї системи і потенціальних енергій їх взаємодій: E = Ek + Ер.
• Потенціальна енергія — це енергія, яку має тіло внаслідок взаємодії з іншими тілами або внаслідок взаємодії частин тіла між собою. Потенціальна енергія піднятого тіла обчислюється за формулою Ер= mgh, пружно деформованого тіла — за формулою Ер = kx 2 /2.
• Сила пружності та сила тяжіння — консервативні (потенціальні) сили: робота цих сил не залежить від форми траєкторії та дорівнює зміні потенціальної енергії тіла, взятій із протилежним знаком: А = Ер0 – Ер= -ΔΕp.
• У замкненій системі тіл, які взаємодіють тільки консервативними силами, повна механічна енергія залишається незмінною (зберігається): Ер0 + Ek0 = Ер + Еk.
Контрольні запитання
1. Дайте означення механічної енергії; потенціальної енергії. 2. Доведіть, що робота сили тяжіння не залежить від форми траєкторії. 3. За якою формулою визначають потенціальну енергію пружно деформованого тіла? 4. У чому полягає принцип мінімуму потенціальної енергії? Наведіть приклади на його підтвердження. 5. За яких умов виконується закон збереження повної механічної енергії? 6. Наведіть приклади, коли повна механічна енергія не зберігається. Що можна сказати про повну енергію системи?
1. Людина підняла відро з піском масою 15 кг на висоту 6 м, а потім повернула його назад. Чи виконала при цьому роботу сила тяжіння? Якщо так, то обчисліть її.
2. Доведіть, що у випадку, коли тіло рухається замкненою траєкторією, робота консервативних сил дорівнює нулю.
3. Тіло масою 1 кг має потенціальну енергію 20 Дж. На яку висоту над Землею піднято тіло, якщо за нульовий рівень потенціальної енергії прийнято точку на поверхні Землі?
4. Пружинний пістолет заряджають кулькою та стріляють угору. Які при цьому відбуваються перетворення енергії?
5. Камінь, що доти перебував у стані спокою, падає з висоти 20 м. На якій висоті швидкість руху каменя дорівнюватиме 10 м/с? Із якою швидкістю камінь упаде на землю? Опором повітря знехтуйте.
6. До горизонтальної пружини, стиснутої на 4 см, прикріплено візок масою 400 г. Визначте максимальну швидкість руху візка по столу після вивільнення пружини, якщо жорсткість пружини 250 Н/м. Втрати енергії не враховуйте.
7. Велосипедист, який рухався зі швидкістю 9 км/год, різко зупиняється. Яку роботу виконує при цьому сила тертя? Куди «зникає» механічна енергія велосипедиста? Визначте гальмівний шлях велосипедиста, якщо середня сила тертя — 400 Н. Маса велосипедиста разом із велосипедом — 80 кг.
8. Існує небезпечне явище природи — сель у горах (потік каміння та грязі). Чому при цьому важкі валуни можуть набирати величезну швидкість? Скористайтеся додатковими джерелами інформації та дізнайтеся про селі більше.