§ 69. Геополітика та її складові. Зовнішня та внутрішня геополітика. Геополітика «сили». Різновиди «сили»

1. ГЕОПОЛІТИКА ТА ЇЇ СКЛАДОВІ. ЗОВНІШНЯ ТА ВНУТРІШНЯ ГЕОПОЛІТИКА. Геополітика — це наука, яка вивчає вплив географічних чинників на зовнішню й внутрішню політику держав. Найбільший внесок у її розвиток зробили німецькі географи. Деякі з них, наприклад Ф. Ратцель та його шведський послідовник Р. Челлен, розглядали держави як живі організми. Як і будь-який живий організм, держави, за цією теорією, не тільки змагаються між собою за ресурси, але й проходять певні стадії розвитку: народження, зростання і змужніння, занепад, смерть. Як і люди, держави можуть жити мало або бути довгожителями.

Назвіть відомі вам з історії та географії держави- довгожителі й ті, що давно припинили існування. Пригадайте причини зникнення цих держав.

Держава, як і людина, вважав Р. Челлен, крім тіла (території), має ще й душу (народ або націю). Як живий організм, держава у своїх діях керується природними інстинктами, найсильнішими з яких є самозбереження й зростання.

Після Другої світової війни американський географ Р. Гартшорн запропонував так звану функціональну теорію. Він стверджував, що держава є політично організованим простором, успішне функціонування якого залежить від уміння переборювати відцентрові сили, що намагаються подрібнити державу. Ці сили діють у кожній країні, але тільки в деяких руйнують державу повністю. Тому головними чинниками успішного функціонування й самого існування будь-якої країни американський вчений зазначав так звані чинники зв’язаності, тобто її цілісності.

Р. Гартшорн вважав, що в наш час цілісність держави вже не може бути забезпечена одним державним апаратом, яким би організованим й ефективним він не був. Її можна досягти лише за рахунок національної ідеї, яка існує в чуттєвій сфері населення країни. Якщо населення ототожнює себе із цією державою, вважає за необхідне об’єднуватися й підтримувати різні групи в усіх її куточках, вона залишиться єдиною. Серед чинників такого об’єднання головним Р. Гартшорн вважав націоналізм. Фактично цю геополітичну теорію взяв на озброєння й президент США Д. Трамп.

Поясніть, як внутрішня та зовнішня політика співвідноситься з міркуваннями Р. Гартшорна. Чи погоджуєтеся ви з думкою вченого?

2. ГЕОПОЛІТИКА «СИЛИ». РІЗНОВИДИ «СИЛИ» (ЕКОНОМІЧНА, МІЛІТАРНА, «М’ЯКА», АБО «СМАРТ-СИЛА»). Геополітика оперує поняттям «сила», яке різні геополітичні школи розуміють по-різному. Загалом «сила» в геополітиці — це певний вплив держав та окремих організацій на інші держави й організації з метою зміни їхньої політики в регіоні й світі та отримання від цього якихось переваг.

За допомогою мережі Інтернет назвіть країни «двох світів» (капіталістичного і соціалістичного), що існували до розпаду СРСР. Порівняйте сучасний рівень розвитку окремих країн цього колись біполярного світу. Зробіть висновки.

Існує декілька різновидів «сили»: економічна, мілітарна, «м’яка», або «смарт-сила», національна сила. Економічна сила є здатністю впливати на політику економічними методами. Мілітарна сила — сукупність засобів збройного примусу, що застосовується державою або іншими суб’єктами політики з метою досягнення внутрішньо- або зовнішньополітичних цілей.

Поняття «м’якої» сили виникло наприкінці XX ст. Це один з інструментів геополітичного впливу, який світове співтовариство застосовує проти держав, що порушують усталений світовий порядок. Національна сила — це постійний вплив держави на міжнародній арені.

За допомогою знань з історії, географії та останніх новин у світі наведіть приклади всіх різновидів сили. Оцініть наявні та можливі наслідки їх застосування.

3. ВЗАЄМОЗВ’ЯЗОК МІЖ НАЦІОНАЛЬНИМИ ТА ГЕОПОЛІТИЧНИМИ ІНТЕРЕСАМИ ДЕРЖАВИ. Національні інтереси є об’єктивно важливими метою й завданням держави як цілісного організму, вони формулюються та визначаються панівною в державі нацією. У більшості випадків вони є синонімом таких державних та геополітичних інтересів, як національний суверенітет, політична незалежність, територіальна цілісність, збереження конституційного ладу, безпека громадян і всього суспільства. Геополітичні інтереси — це один із методів відстоювання національних інтересів на міжнародній арені.

Назвіть сучасні геополітичні інтереси України.

4. ПОЛІТИКО-ГЕОГРАФІЧНЕ ТА ГЕОПОЛІТИЧНЕ РАЙОНУВАННЯ СВІТУ. Основою для виділення різних регіонів світу є відмінності одних частин нашої планети від інших. За найзагальнішими критеріями ці відмінності можна об’єднати в чотири групи: природні, історичні, соціально-економічні й політичні.

У політичному відношенні світ поділяється на країни Європи, Євразії, Азії, Африки, Америки, Австралії та Океанії. У геополітичному відношенні це районування здійснюється по-різному, головним підходом є цивілізаційно-менталітетний, за прихильністю країн або регіонів до певних геополітичних та геостратегічних напрямів розвитку.

• 1) Ознайомитися з матеріалами «Геополітичне положення України» можна на сайті geograf.com.ua/.
• 2) За додатковими джерелами знайдіть картосхеми геополітичних районів світу XX ст. (автори К. Хаусхофер, С. Коен, С. Гантінгтон), і порівняйте, як змінювалася геополітична картина нашої планети.

Карл Хаусхофер — німецький географ та військовий, один із засновників німецької школи геополітики, редактор часопису «Геополітика». Він був другомі вчителем Рудольфа Гесса (заступника А. Гітлера). Під час утримання Р. Гесса в Ландсберзькій в’язниці К. Хаусхофер читав для нього лекції з геополітики.

• Геополітика — це наука, яка вивчає вплив географічних чинників на внутрішню й зовнішню політику.
• Загалом поняття «сила» в геополітиці означає вплив одних держав на політику інших.
• Національні інтереси є об’єктивно важливими метою й завданням держави як єдиного організму.
• Головний підхід до геополітичного районування — цивілізаційно- менталітетний.

ЗАПИТАННЯ ТА ЗАВДАННЯ

• 1. Доведіть, що географічні чинники мають вплив на внутрішню й зовнішню політику держав.
• 2. Обґрунтуйте взаємозв’язок між національними та геополітичними інтересами.
• 3. Спрогнозуйте геостратегічне майбутнє України.
• 4. Проаналізуйте різні геополітичні моделі світу.

Практична робота

• 40. Аналіз політичного вибору населення певної території за даними статистики останніх виборів в Україні в географічному розрізі.

Дослідження

Сусіди Росії першого і другого порядків. Держави-сусіди Росії з півночі, сходу, півдня і заходу

В різні часи сусіди Росії були різними. У найбільшої країни в світі – найбільша кількість межуючих з нею держав: 18 країн – бідних і багатих, слабких і сильних, дружніх і не дуже.

Несхожі один на одного

Загальна протяжність кордону з ними наближається до 70 тисяч кілометрів. Історія змінювалася, деякі держави ставали частиною Росії, інші виходили з її складу. Це обов’язковий процес при зміні політичного ладу.

Такі сусіди Росії, як Абхазія і Південна Осетія, є невизнаними республіками; США і Японія мають з великою державою тільки водні кордони. 38 з 85 суб’єктів Російської Федерації, розташовані вздовж її кордонів, сусідять з одним, двома, або трьома державами. До таким багатим на зарубіжних сусідів регіонів належить Алтайський Край (Казахстан, Китай, Монголія) і Псковська область (сусіди Естонія, Латвія, Білорусія).

Сусіди з загальної кордоном

Усі держави, розташовані в безпосередній близькості, діляться на сусідів першого і другого порядку. Норвегія, Естонія, Латвія, Литва, Польща, Білорусія, Україна, Абхазія, Грузія, Південна Осетія, Азербайджан, Казахстан, Китай, Північна Корея і 2 країни з морськими кордонами – США і Японія – всі вони відносяться до поняття «сусіди Росії першого порядку».Дуже мало синонімів у слова, що позначає державу, що межує з країною. І ці назви носять суб’єктивний характер – межаков, припольщик, шабер. За часів Варшавського договору країни, котрі входять до нього, можна було назвати побратимами. То ж відносилося до Китаю і Північної Кореї. Нелегко пояснити, які країни – сусіди Росії другого порядку. Не боячись тавтології, можна сказати, що це сусіди перше, вищеназваних держав. Сухопутних кордонів у даному випадку 22, 2 морські.

Конкуренція – це поняття, властиве ринковій економіці. Кожен учасник фінансових, торговельних відносин прагне зайняти краще місце в тому середовищі, де йому доводиться функціонувати. Саме з цієї причини виникає конкуренція. Боротьба між суб’єкт.

Ставлення людини до змій ніколи не було однозначним. Багато хто з нас вважають їх непотрібними і мерзенними істотами, а деякі, навпаки, впевнені, що змія може бути корисною, так як з її отрути виробляється багато ліків самого широкого спектру д.

Початкове поняття, на базі якого побудована взагалі вся філософська картина світу (незалежно від філософської системи) – це категорія буття. Поняття це дуже непросте. Тому нижче ми розглянемо, що ж таке буття, і його основні форми також дізнаєм.

Найдовші в світі морські кордони

Найбільша країна має і найпротяжніші в світі морські кордони. Відстань майже в 20 000 кілометрів являє собою північна окраїна Росії, що простягнулася по берегах морів Північного Льодовитого океану. Друга за протяжністю морська межа проходить на сході, омываясь Тихим океаном.

Сусіди на півдні

Південні сусіди Росії – це Монголія, Китай, Казахстан, Азербайджан, Грузія, а також Абхазія і Південна Осетія. На півдні проходить і найдовша сухопутний кордон з Казахстаном, значення якого для нашої країни важко переоцінити. Республіка займає по території 9-е місце в світі і перше серед великих країн, що не мають виходу до Світового океану. Столиця – заново відбудований місто Астана. По території республіки проходить межа між Європою і Азією. Розташована на стику двох світів, багата родючими землями та корисними копалинами країна вбирає в себе все найкраще і стрімко розвивається. Казахстан входить у Митний союз, і в повному сенсі слова виправдовує поняття «близькі сусіди Росії».

Держави-партнери

Особливим сусідом для Росії, безумовно, є Китай, і не тільки тому, що економіка цієї країни, за прогнозами, вже до кінця 2014 року стане першою в світі. Країна посідає перше місце у списку «Сусіди Росії» в Азії і є стратегічним партнером нашої країни. Добросусідські відносини Пекіна і Москви без перебільшення грають найважливішу роль на світовій арені і сприяють встановленню нового світопорядку. У цих двох держав є чимало внутрішніх протиріч і проблем, і їх теж краще долати, використовуючи взаємний досвід.

Добрі відносини з сусідами – політика держави

Для Російської Федерації дуже важливо мати хороші відносини з усіма сусідніми країнами. Їх встановлення і зміцнення є державною політикою. На жаль, південні сусіди Росії, такі як Азербайджан і Грузія, займають не зовсім миролюбну позицію. Тисячу років поруч в дружбі і злагоді живуть Монголія і Росія. Картинкою до цих відносин може служити чудовий фільм Н. Міхалкова «Урга – територія любові». Китай і Росія не просто близькі межаки цієї країни, це – єдині її сусіди. Тому так важливий мир і взаєморозуміння в цьому триєдиного союзі. Не менш важливий він і у взаєминах з самопроголошеною Південною Осетією і Абхазією, у яких взагалі все майбутнє пов’язане тільки з Росією.

Північні сусіди

Як уже зазначалося вище, найдовша кордон нашої держави проходить по берегах північних морів – Лаптєвих, Карського, Східно-Сибірського, Білого і Баренцевого. Окраїнне море північного Льодовитого океану, знаходиться між Росією і Аляскою, полуэсклавом США. Таким чином, північні сусіди Росії – це країни, розташовані по берегах Арктики. До них належать Ісландія, Норвегія, Данія (Гренландія), Сполучені Штати Америки та Канада.

Північний Льодовитий океан мав дуже багато найменувань. У різні часи він називався Північним, Скіфським, Татарським. На російських картах XVII-XVIII століть у нього теж було декілька позначень – Море-океан, Ледовитое, Полярне море та ін. Гіперборейським він був названий в 1650 році географом Варениусом. Крайній Північ здавна вважався батьківщиною бога холодних вітрів Борея, тому і назва океанотримав відповідне. Приставка «гіпер» відноситься до його розмірів. Ось на його берегах і розмістилися всі північні сусіди Росії. навіть на Північному Полюсі, який знаходиться в центрі Північного Льодовитого океану (це назва прийнято в 1935 році), встановлений прапор Росії. А Норвегія є як північних, так і західним прикордонним державою.

Сусіди на заході

Фінляндія, Естонія, Латвія, Литва, Польща, Україна і Білорусія – це західні сусіди Росії. З двома з них, а саме з Литвою і Польщею, межує полуэсклав (територія, яка не має з країною спільного кордону, але виходить до моря) – Калінінградська область. З усіма країнами цього списку, крім Білорусії, що входить в Митний союз і є добрим близьким сусідом, Росія в різні періоди часу перебувала в стані війни. Після розпаду Радянського Союзу колишні Прибалтійські республіки, незважаючи на свої більш ніж скромні абсолютно у всіх сферах можливості, налаштовані недружелюбно. А адже тільки доходи від туристів з Росії можуть відчутно поповнити бюджет.

Росія – хороший вигідний сусід

Доводиться з жалем констатувати, що не всі територіально близькі сусіди Росії є її друзями. Історія нічому не вчить. Скільки б люди не набивали собі лоби, наступаючи на одні і ті ж граблі, вони все одно забувають, що «худий мир краще хорошої війни»; втрачаються явні вигоди від мирного співіснування; що повоєнні комплекси страшні, і від них потім дуже довго виліковуються цілі народи; що варто слухати поради власних провидців. Росія – велика, самобутня, багата країна, і хороші з нею стосунки можуть нести безцінні дивіденди розумним сусідам.

Підбиваючи підсумки

Отже, західними сусідами Росії першого порядку є Норвегія і Фінляндія, Естонія і Латвія, Литва і Польща, Україна та Білорусь. Другого порядку – Швеція, Німеччина, Чехія, Словаччина, Угорщина і Румунія.

Південні сусіди першого порядку представлені наступними країнами: Китай, Монголія, Казахстан, Азербайджан, Грузія, Абхазія і Південна Осетія. Країни-сусіди другого порядку – Молдова, Туреччина та Іран. До них належать 4 колишні радянські республіки – Вірменія, Туркменістан, Узбекистан і Киргизія. А також Афганістан, Індія, Непал, Бутан, М’янма, Лаос, В’єтнам та Республіку Корея.

На сході у Росії в крайніх північної і південної точках є два сусіда першого порядку, кордон з якими проходить по морю, – США і Японія.

Залишається північ. Тут сусідом першого порядку є Канада, а другого порядку – Мексика.

Виходить, що Данія та Ісландія, хоча вони і розташовані на березі Північного Льодовитого океану, зовсім не є сусідами Росії.

Article in other languages:

Alin Trodden – автор статті, редактор
“Привіт, Я Алін Тродден. Я пишу тексти, читаю книги і шукаю враження. І я непогано вмію розповідати вам про це. Я завжди радий брати участь у цікавих проектах.”

Примітка (0)

Ця стаття не має коментарів, будьте першим!

2.1: Лінійні рівняння першого порядку

Рівняння першого порядку \[\begin x ^ < 2 >y ^ < \prime >+ 3 y & = x ^ < 2 >\\[4pt] x y ^ < \prime >– 8 x ^ < 2 >y & = \sin x \\[4pt] x y ^ < \prime >+ ( \ln x ) y & = 0 \\[4pt] y ^ < \prime >& = x ^ < 2 >y – 2 \end\] не в формі в Equation\ ref , але вони лінійні, так як їх можна переписати як \[\begin y ^ < \prime >+ \frac < 3 > < x ^ < 2 >> y & = 1 \\[4pt] y ^ < \prime >– 8 x y & = \frac < \sin x > < x >\\[4pt] y ^ < \prime >+ \frac < \ln x > < x >y & = 0 \\[4pt] y ^ < \prime >– x ^ < 2 >y & = – 2 \end\]

Приклад Template:index

Ось деякі нелінійні рівняння першого порядку: \[\begin x y ^ < \prime >+ 3 y ^ < 2 >& = 2 x & \text < (because >y \text < is squared) >\\[4pt] y y ^ < \prime >& = 3 & \text < (because of the product >y y ^ < \prime >) \\[4pt] y ^ < \prime >+ x e ^ < y >& = 12 & \text < (because of >e ^ < y >) \end\]

Загальний розв’язок лінійного рівняння першого порядку

• Для кожного фіксованого значення \(c\) результуючої функції \(x\) є розв’язком Рівняння\ ref on \((a,b)\) .
• Якщо \(y\) є розв’язком Equation\ ref on \((a,b)\) , то \(y\) його можна отримати за формулою, вибравши \(c\) відповідним чином.

Ми назвемо \(y=y(x,c)\) загальне рішення Equation\ ref .

Коли це буде встановлено, випливає, що рівняння форми

має загальне рішення на будь-якому відкритому інтервалі, \((a,b)\) на якому \(P_0\) \(P_1\) , і всі неперервні і \(P_0\) не \(F\) мають нулів, оскільки в цьому випадку ми можемо переписати Equation\ ref у вигляді Equation\ ref з \(p=P_1/P_0\) і \(f=F/P_0\) , які обидва неперервні на \((a,b)\) .

Щоб уникнути незручних формулювань в прикладах і вправах, ми не будемо вказувати інтервал, \((a,b)\) коли ми запитуємо загальне рішення конкретного лінійного рівняння першого порядку. Погодьмося, що це завжди означає, що ми хочемо загальне рішення на кожному відкритому інтервалі, на якому \(p\) і \(f\) є неперервними, якщо рівняння має вигляд Equation\ ref , або на якому \(P_0\) \(P_1\) , і \(F\) є неперервними і не \(P_0\) має нулів, якщо рівняння має вигляд Рівняння\ ref . Ми залишаємо вам визначити ці інтервали на конкретних прикладах та вправах.

Для повноти ми вказуємо \(P_0\) , що якщо \(P_1\) , і \(F\) всі безперервні на відкритому інтервалі \((a,b)\) , але \(P_0\) мають нуль в \((a,b)\) , то Equation\ ref може не мати загального рішення \((a,b)\) в сенсі просто визначено. Оскільки це не головний момент, який потрібно детально розробити, ми не будемо обговорювати його далі; однак див. Вправа 2.1.44 для прикладу.

Однорідні лінійні рівняння першого порядку

Почнемо з задачі пошуку загального розв’язку однорідного лінійного рівняння першого порядку. Наступний приклад нагадує знайомий результат з обчислення.

Приклад Template:index

1. Знайдіть загальне рішення \[y’-ay=0.\label\]
2. Вирішити початкову задачу \[y’-ay=0,\quad y(x_0)=y_0.\nonumber \]

(a) Ви вже знаєте з числення, що якщо \(c\) є будь-якою константою, то \(y=ce^\) задовольняє Equation\ ref . Однак давайте зробимо вигляд, що ви забули про це, і використаємо цю задачу, щоб проілюструвати загальний метод розв’язання однорідного лінійного рівняння першого порядку.

Ми знаємо, що Equation\ ref має тривіальне рішення \(y\equiv0\) . Тепер припустимо, \(y\) це нетривіальний розв’язок Рівняння\ ref . Тоді, оскільки диференційована функція повинна бути безперервною, повинен бути якийсь відкритий \(y\) інтервал, \(I\) на якому немає нулів. Ми переписуємо рівняння\ ref як

для \(x\) в \(I\) . Інтеграція цього показує, що

\[\ln|y|=ax+k,\quad \text \quad |y|=e^ke^, \nonumber\]

де \(k\) – довільна константа. Оскільки ніколи не \(e^\) може дорівнювати нулю, не \(y\) має нулів, \(y\) тому завжди позитивний або завжди негативний. Тому ми можемо переписати \(y\) як

Це показує, що кожне нетривіальне рішення Equation\ ref має вигляд \(y=ce^\) деякої ненульової константи \(c\) . Оскільки установка \(c=0\) дає тривіальне рішення, всі розв’язки Equation\ ref мають вигляд Equation\ ref . І навпаки, рівняння\ ref є розв’язком рівняння\ ref для кожного вибору \(c\) , оскільки диференціювання рівняння\ ref дає результат \(y’=ace^=ay\) .

Накладення початкового стану \(y(x_0)=y_0\) дає врожайність \(y_0=ce^\) , так \(c=y_0e^\) і

На малюнку Template:index показано графіки цієї функції з \(x_=0\) різними значеннями \(a\) . \(y_=1\)

Приклад Template:index

a. знайти загальне рішення

b Вирішити початкову задачу значення

Ми переписуємо рівняння\ ref як

де \(x\) обмежується або \((-\infty,0)\) або \((0,\infty)\) . Якщо \(y\) є нетривіальним розв’язком Equation\ ref , \(y\) має бути деякий відкритий інтервал I, на якому немає нулів. Ми можемо переписати рівняння\ ref як

для \(x\) в \(I\) . Інтеграція показує, що

Оскільки функція, яка задовольняє останнє рівняння, не може змінити знак ні на \((0,\infty)\) одному \((-\infty,0)\) або, ми можемо переписати цей результат простіше, як

Тепер ми показали, що кожне розв’язання Equation\ ref задається Equation\ ref для певного вибору \(c\) . (Незважаючи на те, що ми \(y\) припустили, що вивести Equation\ ref нетривіально, ми можемо отримати тривіальне рішення, встановивши \(c=0\) в Equation\ ref .) І навпаки, будь-яка функція виду Рівняння\ ref є розв’язком Рівняння\ ref , оскільки диференціююче рівняння\ ref дає

і підставляючи це і рівняння\ ref в Рівняння\ ref дає

Рисунок Template:index показує графіки деяких розв’язків, що відповідають різним значенням \(c\)

Накладення початкової умови \(y(1)=3\) в Equation\ ref дає результат \(c=3\) . Тому розв’язком рівняння\ ref є

Інтервал дії даного розчину становить \((0,\infty)\) .

Результати наведені в прикладах \(\PageIndex\) і \(\PageIndex\) є окремими випадками наступної теореми.

Теорема Template:index

Якщо \(p\) неперервний, \((a,b),\) то загальний розв’язок однорідного рівняння

це будь-яке антипохідне \(p\) від \((a,b);\) того, що \(,\)

Рисунок Template:index: Розв’язки \(xy’+y=0\) на \((0,\infty)\) і \((-\infty,0)\)

Доказ

Якщо \(y=ce^\) , диференціювання \(y\) та використання Equation\ ref показує, що

так \(y’+p(x)y=0\) ; тобто \(y\) є розв’язком Рівняння\ ref , для будь-якого вибору \(c\) .

Тепер ми покажемо, що будь-який розв’язок Equation\ ref може бути записаний як \(y=ce^\) для певної константи \(c\) . Тривіальне рішення можна записати таким чином, з \(c=0\) . Тепер припустимо, \(y\) це нетривіальне рішення. Тоді є відкритий підінтервал \(I\) \((a,b)\) на який не \(y\) має нулів. Ми можемо переписати рівняння\ ref як

для \(x\) в \(I\) . Інтеграція рівняння\ ref та нагадування рівняння\ ref дає

де \(k\) константа. Це означає, що

Оскільки \(P\) визначається для всіх \(x\) в \((a,b)\) і експоненціальна ніколи не може дорівнювати нулю, ми можемо взяти \(I=(a,b)\) , так що \(y\) має нулі на \((a,b)\) \((a,b)\) , так що ми можемо переписати останнє рівняння як \(y=ce^\) , де

ЗАУВАЖЕННЯ: Переписання диференціального рівняння першого порядку так, що одна сторона залежить тільки від, \(y\) \(y’\) а інша залежить тільки від \(x\) називається поділом змінних. Ми зробили це в прикладах Template:index і Template:index, а також у переписуванні рівняння\ ref і рівняння\ ref . Ми будемо застосовувати цей метод до нелінійних рівнянь у розділі 2.2.

Лінійні неоднорідні рівняння першого порядку

Тепер ми вирішимо неоднорідне рівняння

При розгляді цього рівняння ми називаємо

Ми знайдемо розв’язки Equation\ ref у вигляді \(y=uy_1\) , де \(y_1\) є нетривіальним розв’язком комплементарного \(u\) рівняння і його потрібно визначити. Цей метод використання розв’язку комплементарного рівняння для отримання розв’язків неоднорідного рівняння є окремим випадком методу, який називається варіацією параметрів , з яким ви зіткнетеся кілька разів у цій книзі. (Очевидно, що не \(u\) може бути постійним, оскільки якби це було, ліва сторона Equation\ ref була б нульовою. Визнаючи це, ранні користувачі цього методу розглядали \(u\) як «параметр», який змінюється; отже, назва «варіація параметрів».)

\[y=uy_1, \quad \text\quad y’=u’y_1+uy_1′.\nonumber \]

Підстановка цих виразів для \(y\) і \(y’\) в Рівняння\ ref дає

оскільки \(y_1\) є розв’язком комплементарного рівняння; тобто

На доказ теореми 2.2.1 ми побачили, що не \(y_1\) має нулів на інтервалі, де \(p\) є безперервним. Тому ми можемо розділити рівняння\ ref через на \(y_1\) , щоб отримати

Ми можемо інтегрувати це (вводячи константу інтеграції) та помножити результат на, \(y_1\) щоб отримати загальний розв’язок Equation\ ref . Перш ніж перейти до формального доказу цього позову, розглянемо кілька прикладів.

Приклад Template:index

Знайдіть загальне рішення

Застосовуючи приклад 2.1.3 с \(a=-2\) , ми бачимо, що \(y_1=e^\) це рішення комплементарного рівняння \(y’+2y=0\) . Тому ми шукаємо розв’язки рівняння\ ref у вигляді \(y=ue^\) , щоб

Тому \(y\) є розв’язком Рівняння\ ref якщо і тільки тоді

Рисунок Template:index: Поле напряму та інтегральні криві для \(y’+2y=x^e^\)

є загальним розв’язком Рівняння\ ref .

На малюнку Template:index показано поле напряму та деякі інтегральні криві для Equation\ ref .

Приклад Template:index

Знайдіть загальне рішення

Вирішити початкову задачу

Тут \(p(x)=\cot x\) і \(f(x)= x\csc x\) обидва неперервні, крім точок \(x=r\pi\) , де \(r\) є ціле число. Тому ми шукаємо розв’язки рівняння\ ref на інтервалах \(\left(r\pi, (r+1)\pi \right)\) . Потрібен нетривальний \(y_1\) розв’язок комплементарного рівняння; таким чином, \(y_1\) повинен задовольнити \(y_1’+(\cot x)y_1=0\) , який ми переписуємо як

Інтеграція цієї врожайності

де ми приймаємо константу інтеграції рівною нулю, оскільки нам потрібна лише одна функція, яка задовольняє Equation\ ref . \(y_1=1/\sin x\) Зрозуміло, що це відповідний вибір. Тому шукаємо розв’язки рівняння\ ref у вигляді

Тому \(y\) є розв’язком Рівняння\ ref якщо і тільки тоді

\[u’/\sin x=x\csc x=x/\sin x\quad \text\quad u’=x.\nonumber \]

Інтеграція цієї врожайності

є загальним розв’язком Рівняння\ ref на кожному інтервалі \(\left(r\pi,(r+1)\pi\right)\) ( \(r=\) ціле число).

b. накладення початкової умови \(y(\pi/2)=1\) в рівнянні\ ref дає

є розв’язком Рівняння\ ref . Інтервал дії цього рішення дорівнює \((0,\pi)\) ; на малюнку 2.1.4 показаний його графік.

Рисунок Template:index: Розв’язок \(y’+(\cot x)y=x\csc x, y(\pi /2)=1\)

ЗАУВАЖЕННЯ: Не потрібно було робити обчислення\ ref і\ ref у прикладі Template:index, оскільки ми показали в попередньому прикладі 2.1.5, що якщо \(y = uy_\) де \(y’_+ p(x)y_=0\) , то \(y’+ p(x)y = u’y_\) . Ми зробили ці обчислення, щоб ви побачили, що це відбувається в цьому конкретному прикладі. Ми рекомендуємо включати ці «непотрібні» обчислення у виконання вправ, поки ви не впевнені, що дійсно розумієте метод. Після цього опустіть їх.

Узагальнено метод варіації параметрів для розв’язання

a. знайти \(y_1\) таку функцію, що

Для зручності візьміть константу інтеграції рівною нулю.

нагадати собі про те, що ви робите.

c. писати \(u’y_1=f\) і вирішувати для \(u’\) ; таким чином, \(u’=f/y_1\) .

d \(u’\) Інтегрувати для отримання \(u\) , з довільною константою інтеграції.

e. замінити \(u\) в рівняння\ ref для отримання \(y\) .

Вирішити рівняння, записане як

ми рекомендуємо розділити на, \(P_0(x)\) щоб отримати рівняння виду Equation\ ref , а потім слідувати цій процедурі.

Рішення в інтегральній формі

Іноді інтеграли, що виникають при розв’язанні лінійного рівняння першого порядку, не можуть бути оцінені через елементарні функції. В цьому випадку рішення необхідно залишити в терміні цілісного.

Приклад Template:index

Знайдіть загальне рішення

Вирішити початкову задачу

а. щоб застосувати варіацію параметрів, нам потрібно нетривіальне рішення \(y_1\) комплементарного рівняння; таким чином \(y_1′-2xy_1=0\) , яке ми переписуємо як

Інтегруючи це та приймаючи константу інтеграції нульовою прибутковістю

\[\ln|y_1|=x^2,\quad \text \quad|y_1|=e^.\nonumber \]

Вибираємо \(y_1=e^\) і шукаємо розв’язки рівняння\ ref у вигляді \(y=ue^\) , де

але ми не можемо спростити інтеграл праворуч, тому що немає елементарної функції з похідною рівною \(e^\) . Тому найкращою доступною формою для загального розв’язку Рівняння\ ref є

b Оскільки початкова умова в Equation\ ref накладається на \(x_0=0\) , зручно переписати Equation\ ref як

Налаштування \(x=0\) і \(y=y_0\) тут показує, що \(c=y_0\) . Тому розв’язанням початкової задачі значення є

Для заданого значення \(y_0\) і кожного фіксованого \(x\) інтеграл праворуч може бути оцінений числовими методами. Альтернативною процедурою є застосування процедур числового інтегрування, розглянутих у розділі 3, безпосередньо до початкової задачі Equation\ ref . На малюнку 2.1.5 показані графіки рівняння\ ref для декількох значень \(y_0\) .

Теорема про існування та єдиність

Метод варіації параметрів призводить до цієї теореми.

Теорема Template:index Теорема існування та єдиності

Припустимо \(f\) , \(p\) і є неперервними на відкритому інтервалі \((a,b),\) і нехай \(y_1\) буде будь-який нетривіальний розв’язок комплементарного рівняння

1. Загальний розв’язок неоднорідного \((a,b)\) рівняння \[\label y’+p(x)y=f(x)\] на \[\label y=y_1(x)\left(c +\int f(x)/y_1(x)\,dx\right).\]
2. Якщо \(x_0\) є довільною точкою в \((a,b)\) і \(y_0\) є довільним дійсним числом, \(,\) то початкова задача \[y’+p(x)y=f(x),\quad y(x_0)=y_0\nonumber \] має унікальний розв’язок \[ y=y_1(x)\left( +\int^x_ \, dt\right)\nonumber \] на \((a,b).\)

(a) Щоб показати, що рівняння\ ref є загальним рішенням рівняння\ ref на \((a,b)\) , ми повинні довести, що:

1. Якщо \(c\) є будь-якою константою, функція \(y\) в Equation\ ref є розв’язком Рівняння\ ref на \((a,b)\) .
2. Якщо \(y\) є розв’язком Рівняння\ ref , \((a,b)\) \(y\) то для деякої константи має вигляд Equation\ ref \(c\) .

Щоб довести (i), ми спочатку зауважимо, що будь-яка функція виду Equation\ ref визначена на \((a,b)\) , оскільки \(p\) і \(f\) є неперервними \((a,b)\) . Диференціююче рівняння\ ref дає

\[y’=y_1′(x)\left(c +\int f(x)/y_1(x)\, dx\right)+f(x).\nonumber \]

Оскільки \(y_1’=-p(x)y_1\) це і рівняння\ ref означають, що

що означає, що \(y\) це рішення рівняння\ ref .

Щоб довести (ii), припустимо, \(y\) є розв’язком Рівняння\ ref на \((a,b)\) . З доказу теореми 2.1.1, ми знаємо, що не \(y_1\) має нулів на \((a,b)\) , тому функція \(u=y/y_1\) визначається на \((a,b)\) . Більш того, так як

\[y’=-py+f\quad \text\quad y_1’=-py_1,\nonumber \]

Інтеграція \(u’=f/y_1\) врожайності

\[u=\left(c +\int f(x)/y_1(x)\, dx\right),\nonumber \]

що має на увазі рівняння\ ref , так як \(y=uy_1\) .

(b) Ми довели (a), де \(\int f(x)/y_1(x)\,dx\) в Equation\ ref є довільним антипохідним від \(f/y_1\) . Тепер зручно вибрати антипохідну, яка дорівнює нулю коли \(x=x_0\) , і записати загальний розв’язок Equation\ ref як

ми бачимо, що \(y(x_0)=y_0\) якщо і тільки якщо \(c=y_0/y_1(x_0)\) .