Зміст:

1 Онлайн калькулятор. Розв’язання квадратних рівнянь
- 1.1 Калькулятор квадратних рівнянь
2 Логарифмічні рівняння
- 2.1 Основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь
- 2.2 Приклади розв’язання логарифмічних рівнянь

Онлайн калькулятор. Розв’язання квадратних рівнянь

Скориставшись цим онлайн калькулятором для розв’язання квадратних рівнянь, ви зможете дуже просто і швидко знайти корені квадратних рівняння.

Скориставшись онлайн калькулятором для розв’язання квадратних рівнянь ви отримаєте детальний розв’язок вашого прикладу, який дозволить зрозуміти алгоритм розв’язання таких задач і закріпити вивчений матеріал.

Калькулятор квадратних рівнянь

Введення даних в калькулятор для розв’язання квадратних рівнянь:

введіть ваше квадратне рівняння в калькулятор;
натисніть кнопку  для виконання обчислень.

Додаткові можливості калькулятору квадратних рівнянь

С – повністю очистить поле вводу.
 – видалить один символ.
  для переміщення між полями калькулятора.

Теорія. Розв’язання квадратних рівнянь

Розв’язати квадратне рівняння означає знайти всі значення x_i , для яких буде виконуватись рівність

Для розв’язання квадратного рівняння необхідно знайти дискримінант

Якщо D > 0, то рівняння має два різних дійсних кореня.
Якщо D = 0, то рівняння має один дійсних корінь ( x ₁ = x ₂).
Якщо D < 0, то рівняння не має дійсних коренів.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Логарифмічні рівняння

Розв’язання логарифмічних рівнянь ґрунтується на означенні логарифма, властивостях логарифмічної функції та властивостях логарифма.

Основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь

log _{f ( x )} g ( x ) = log _{f ( x )} h ( x ) g ( x ) = h ( x ) f ( x ) > 0 f ( x ) ≠ 1 g ( x ) > 0 або g ( x ) = h ( x ) f ( x ) > 0 f ( x ) ≠ 1 h ( x ) > 0

log _a f ( x ) + log _a g ( x ) = log _a h ( x ) log _a ( f ( x ) g ( x )) = log _a h ( x ) f ( x ) > 0 g ( x ) > 0 h ( x ) > 0

log _a f ( x ) – log _a g ( x ) = log _a h ( x ) log _a f ( x ) g ( x ) = log _a h ( x ) f ( x ) > 0 g ( x ) > 0 h ( x ) > 0

log _a ( f ( x ) g ( x )) = log _a | f ( x )| + log _a | g ( x )| log _a f ( x ) g ( x ) = log _a | f ( x )| – log _a | g ( x )| log _a ( f ( x )) 2 n = 2 n log _a | f ( x )|

Приклади розв’язання логарифмічних рівнянь

1. Використання означення логарифму

Розв’язати рівняння: log₂₇ x = 2 3 .

Спочатку знайдемо область допустимих значень рівняння (ОДЗ): x > 0

Перетворимо логарифмічне рівняння та виконаємо обчислення:

x = 27 2/3 = (3 3 ) 2/3 = 3 2 = 9

Розв’язати рівняння log₂ ( x – 3) = 4.

Знайдемо ОДЗ рівняння: x – 3 > 0 => x > 3

Із означення логарифма отримаємо:

Розв’язати рівняння log _x (2 x 2 – 3 x – 4) = 2.

Знайдемо ОДЗ рівняння: x > 0 x ≠ 1 2 x 2 – 3 x – 4 > 0

Із означення логарифма отримаємо:

x 2 = 2 x 2 – 3 x – 4 => x 2 – 3 x – 4 = 0

Скориставшись теоремою Вієта легко знайти корені рівняння x 2 – 3 x – 4 = 0

Виберемо корені що входять до ОДЗ:

x ₁ = 4 – задовольняє всім умовам ОДЗ:

4 > 0 4 ≠ 1 2·4 2 – 3·4 – 4 = 32 – 12 – 4 = 16 > 0

x ₂ = -1 – не задовольняє першу умову з ОДЗ:

2. Метод потенціювання

Розв’язати рівняння log₃ ( x 2 – 4 x – 5) = log₃ (7 – 3 x ).

Знайдемо ОДЗ рівняння: x 2 – 4 x – 5 > 0 7 – 3 x > 0

Замінимо логарифмічне рівняння рівносильним:

Скориставшись теоремою Вієта легко знайти корені рівняння x 2 – x – 12 = 0

Виберемо корені які входять до ОДЗ:

x ₁ = 4 – не задовольняє умовам ОДЗ:

x ₂ = -3 – задовольняє умовам ОДЗ:

(-3) 2 – 4·(-3) – 5 = 16 > 0 7 – 3·(-3) = 16 > 0

Розв’язати рівняння lg ( x – 9) + lg (2 x – 1) = 2 .

Знайдемо ОДЗ рівняння: x – 9 > 0 2 x – 1 > 0 => x > 9 x > 0.5 => x ϵ (9; +∞)

lg ( x – 9) + lg (2 x – 1) = lg 100

Замінимо логарифмічне рівняння рівносильним:

Розв’яжемо квадратне рівняння:

x ₁ = 19 + √ 1089 2·2 = 19 + 33 4 = 13

x ₂ = 19 – √ 1089 2·2 = 19 – 33 4 = -3.5

ОДЗ задовольняє тільки один корінь x = 13

3. Метод заміни змінної, зведенням логарифмічного рівняння до алгебраїчного

Розв’язати рівняння 1 12 lg 2 x = 1 3 – 1 4 lg x .

Зробимо заміну змінної lg x = t :

Скориставшись теоремою Вієта легко знайти корені рівняння

lg x = -4 lg x = 1 => x = 10 -4 x = 10

Відповідь: рівняння має два кореня x ₁ = 0.0001 и x ₂ = 10.

4. Зведення логарифмічного рівняння до однієї основи

Розв’язати рівняння log₄ x + log_1/16 x + log₈ x 3 = 5 .

Скориставшись властивостями логарифмів зведемо логарифми в рівнянні до основи 2:

1 2 log₂ x – 1 4 log₂ x + log₂ x = 5

5. Логарифмування обох частин рівняння

Розв’язати рівняння x lg x = 100 x .

Прологарифмуємо обидві частини рівняння по основі 10, і використаємо властивість логарифма степеню і частки:

Виконаємо заміну змінної lg x = t :

Скориставшись теоремою Вієта легко знайти корені рівняння

lg x = -2 lg x = 1 => x = 10 -2 x = 10

Відповідь: рівняння має два кореня x ₁ = 0.01 и x ₂ = 10.

6. Використання монотонності при розв’язанні логарифмічних рівнянь

Розв’язати рівняння log₅ ( x + 3) = 3 – x .

y = log₅ ( x + 3) – монотонно зростаюча функція;

y = 3 – x – монотонно спадна функція;

Так як перша функція монотонно зростає, а друга монотонно спадає, то вони мають одну точку перетину, яка буде розв’язком початкового рівняння.

Підбором знайдемо розв’язок:

При x = 2 => log₅ (2 + 3) = 1; 3 – 2 = 1