Зміст:
Що таке формула Ейлера для комплексних чисел?
Цей вираз використовується для перезаписування комплексних чисел шляхом переведення їх iз тригонометричної форми запису в алгебраїчну форму запису .
Якщо записати комплекснi числа у цiй формi, можна визначити показнику форму комплексного числа, яку часто називають формулою Ейлера.
Формула Ейлера
Для комплексного числа z iз нормою r та аргументом 𝜃 показникова форма запису визначається так:
Для записування комплексного числа у показниковiй формi аргумент числа z зазначають у показнику степеня разом з уявною одиницею i , а норму числа z множать на показникову функцiю. Формула Ейлера — це важлива зв’язувальна ланка мiж показовою функцiєю та тригонометричними функцiями .
Перепиши число z = e i π в алгебраїчнiй формi
Норма r комплексного числа z — це число попереду показникової функцiї. Для z маємо r = 1 . Аргумент 𝜃 комплексного числа z – це число, яке стоїть разом з i у показнику степеня. Для z маємо 𝜃 = π . Якщо скористатися формулою Ейлера, можна записати комплексне число z в алгебраїчнiй формi z = a + b i , де
a = r cos 𝜃 = cos π = − 1 , b = r sin 𝜃 = sin π = 0 .
Це означає, що z = e i π = − 1 .
Результат, який показав Приклад 1, часто називають тотожнiстю Ейлера. Ця вiдома тотожнiсть пов’язує π , i , e та − 1 .
Показникова форма запису комплексних чисел — це компактний спосiб подати комплексне число z . Формулу Ейлера можна використовувати для подання комплексних чисел в тригонометричнiй формi. Оскiльки всi комплекснi числа можна записати в тригонометричнiй формi, всi комплекснi числа також можна записати в показниковiй формi.
Запиши z = 3 − i в тригонометричнiй формi, використовуючи формулу Ейлера
Щоб скористатися формулою Ейлера, нам потрiбна норма та аргумент z . Щоб знайти норму комплексного числа z , послугуємося теоремою Пiфагора :
r = ( 3 ) 2 + ( − 1 ) 2 = 3 + 1 = 2 .
Потiм можна знайти аргумент комплексного числа z за допомогою косинуса :
𝜃 = cos − 1 ( 3 2 ) ⇓ 𝜃 = π 6 or 𝜃 = 1 1 π 6 .
Оскiльки дiйсна частина z додатна, а уявна частина z вiд’ємна, z лежить у четвертому квадрантi комплексної площини. Отже, аргумент комплексного числа z дорiвнює 𝜃 = 1 1 π 6 .
Тепер, коли нам вiдома норма та аргумент z , можна записати z у показниковiй формi:
Коли ми виконуємо обчислення з показниковою функцiєю з комплексним показником, можна послугуватися правилами пiднесення до степеня :
Показова функцiя з комплексним показником
Для кожного комплексного числа z = a + b i експонента дорiвнює
e z = e a + b i = e a ⋅ e b i = e a ( cos b + i sin b ) .
Коли ми пiдносимо e до степеня, що є комплексним числом z = a + b i , ми отримуємо нове комплексне число з нормою e a та аргументом b .
Знайди w = e z для комплексного числа z = 3 + i π
Знаходимо w , використовуючи правило показникової функцiї з комплексним показником:
w = e z = e 3 + i π = e 3 ⋅ e i π = e 3 ⋅ ( − 1 ) = − e 3 .
15.2: Формула Ейлера
Теорема \(\PageIndex<1>\) Якщо \(G\) планарне вбудовування зв’язаного графа (або мультиграфа, з петлями або без них), то \[|V | − |E| + |F| = 2.\] Доказ 1: Доведемо цю формулу індукцією на кількість граней вбудовування. \(G\) Дозволяти площинне вбудовування зв’язаного графа (або мультиграф, з або без петель). Базовий випадок: Якщо \(|F| = 1\) тоді \(G\) не може мати жодних циклів (інакше внутрішня та зовнішня частина циклу будуть \(2\) окремими гранями). Так \(G\) повинен бути пов’язаний графік, який не має циклів, тобто дерево. За теоремою 12.4.1 ми знаємо, що ми повинні мати \(|E| = |V | − 1\) , так \[|V | − |E| + |F| = |V | − (|V | − 1) + 1 = 2.\] Дерево не може мати жодних петель або декількох ребер, оскільки вони утворюють цикли. Індуктивний крок: Ми починаємо з констатації нашої індуктивної гіпотези. \(k ≥ 1\) Дозволяти бути довільним, і припустити, що для будь-якого планарного вбудовування зв’язаного графа (або мультиграфа, з або без петель) з \(k\) гранями, \(|V | − |E| + |F| = 2\) . \(G\) Дозволяти планарне вбудовування зв’язаного графа з \(k + 1 ≥ 2\) гранями. Так як дерева мають тільки одну грань, \(G\) повинні мати цикл. Виберіть будь-який край \(e\) , який знаходиться в циклі \(G\) , і нехай \(H = G \setminus \\) . Зрозуміло, що ми маємо \[|E(H)| = |E(G)| − 1\] і \(|V (H)| = |V (G)|\) . Крім того, \[|F(H)| = |F(G)| − 1 = k\] так як край \(e\) , що є частиною циклу, повинен розділяти дві грані \(G\) , які об’єднані в одну грань \(H\) . Крім того, оскільки \(e\) був у циклі і \(G\) пов’язаний, Пропозиція 12.3.4, \(H\) пов’язана і \(H\) має планарне вбудовування, індуковане планарним вбудовуванням \(G\) . Тому наша індуктивна гіпотеза відноситься до \(H\) , так \[ \begin \begin 2 &= |V (H)| − |E(H)| + |F(H)| \\ &= |V (G)| − (|E(G) − 1) + (|F(G)| − 1) \\ &= |V (G)| − |E(G)| + |F(G)| \end \end \] На цьому індуктивний крок закінчений. За принципом математичної індукції, \(|V | − |E| + |F| = 2\) для будь-якого планарного вбудовування зв’язаного графа (або мультиграфа, з петлями або без них).
Вищевказане доказ є незвичним для доказу індукцією на графіках, оскільки індукція не на кількість вершин. Якщо ви спробуєте довести формулу Ейлера шляхом індукції на кількість вершин, видалення вершини може відключити граф, що означатиме, що індукційна гіпотеза не застосовується до отриманого графіка. Однак існує інша операція графа, яка зменшує кількість вершин на \(1\) , і зберігає графік зв’язним. На жаль, він може перетворити графік на мультиграф, тому його можна використовувати лише для підтвердження результату, який відповідає дійсності як для мультиграфів, так і для графіків. Ця операція називається скороченням краю.
Визначення: Договірний край \(G\) Дозволяти графу з ребром \(uv\) . Графік, \(G’\) отриманий при скороченні ребра, \(uv\) має вершини. \[V (G’ ) = (V (G) \setminus \
Зверніть увагу, що якщо \(G\) це пов’язано, то графік, отриманий при стисненні будь-якого краю, також \(G\) буде з’єднаний. Однак якщо \(uv\) є ребром, який ми стискаємо, \(u\) і \(v\) маємо взаємного сусіда \(x\) , то в графіку \(uv\) , отриманому шляхом скорочення, буде кратний край між \(u’\) і \(x\) . Також, якщо \(G\) має плоске закладення, то після стягування будь-якого краю все одно буде плоске закладення. Якщо \(u \neq v\) , то скорочення \(uv\) зменшує кількість вершин на одну, зменшує кількість ребер на одиницю, і не змінює кількість граней. Тепер ми можемо використовувати цю операцію для доведення формули Ейлера шляхом індукції на кількість вершин
Теорема \(\PageIndex<1>\) Якщо \(G\) планарне вбудовування зв’язаного графа (або мультиграфа, з петлями або без них), то \[|V | − |E| + |F| = 2.\] Доказ 2: \(G\) Дозволяти площинне вбудовування зв’язаного графа (або мультиграф, з або без петель). Базовий випадок: якщо \(|V | = 1\) тоді \(G\) має одну вершину. Крім того, кожен край – це петля. Кожна петля задіює \(1\) край, і облягає \(1\) лицьовою стороною. Таким чином, цей графік матиме ще одну грань, ніж петлі (оскільки вона має одну грань, навіть якщо петель немає). Таким чином, \[|V | − |E| + |F| = 1 − e + (e + 1) = 2.\] Індуктивний крок: Ми починаємо з констатації нашої індуктивної гіпотези. \(k ≥ 1\) Дозволяти бути довільним, і припустити, що для будь-якого планарного вбудовування зв’язаного графа (або мультиграфа, з або без петель) з \(k\) вершинами, \(|V | − |E| + |F| = 2\) . \(G\) Дозволяти планарне вбудовування зв’язаного графа з \(k + 1 ≥ 2\) вершинами. Так як граф пов’язаний і має як мінімум дві вершини, він має хоча б одне ребро \(uv\) , с \(u \neq v\) . \(G’\) Дозволяти графу, який ми отримуємо шляхом контрактування \(uv\) . Потім \(G’\) відбувається планарне вбудовування зв’язаного графа (або мультиграфа, з петлями або без них) на \(k\) вершині, тому наша індуктивна гіпотеза застосовується до \(G’\) . Тому, \[ \begin \begin 2 &= |V (G’)| − |E(G’)| + |F(G’)| \\ &= (|V (G)| − 1) − (|E(G) − 1) + |F(G)| \\ &= |V (G)| − |E(G) + |F(G)| \end \end \] На цьому індуктивний крок закінчений. За принципом математичної індукції, \(|V | − |E| + |F| = 2\) для будь-якого планарного вбудовування зв’язаного графа (або мультиграфа, з петлями або без них).
Скорочення ребер має деякі інші дуже важливі застосування в теорії графів. Перш ніж розглядати деякі наслідки формули Ейлера, ми пояснимо одну відому теорему, яка включає скорочення країв та плоскі графіки.
Визначення: Неповнолітній \(G\) Дозволяти графу. Тоді \(H\) є незначним, \(G\) якщо ми можемо побудувати \(H\) з \(G\) шляхом видалення або скорочення ребер і видалення вершин.
Теорема \(\PageIndex<2>\) : Wagner’s Theorem Графік є планарним тоді і лише тоді, коли він не має незначних ізоморфних до \(K_5\) або \(K_\) .
Можна довести теорему Вагнера як легкий наслідок теореми Куратовського, оскільки якщо він \(G\) має підграф, який є підрозділом \(K_5\) або \(K_<3,3>\) потім стискається все, крім одного шматочка кожного підрозділеного краю, дає нам незначний, який є ізоморфним до \(K_5\) або \(K_<3,3>\) . Тим не менш, теорема Вагнера важлива сама по собі, як перший приклад набагато більш пізньої та дуже потужної роботи Ніла Робертсона та Пола Сеймура про неповнолітніх графа. Сім’я, як кажуть, є неповнолітньою закритою, якщо дана будь-яка графа в сім’ї, будь-яка неповнолітня частина графіка також є в сім’ї. Планарні графи є прикладом малозамкнутого сімейства, оскільки операції видалення (ребер або вершин) і стиснення ребер зберігають плоске вбудовування. Робертсон і Сеймур довели чудовий результат, що якщо сімейство графів є незначним замкнутим, то сім’я може характеризуватися кінцевим набором «заборонених неповнолітніх». Тобто для будь-якого такого сімейства \(\mathcal\) існує кінцевий набір \(\mathcal\) графіків, таких, що \(\mathcal ∈ \mathcal\) якщо і тільки в тому випадку, якщо не \(\mathcal\) з’являється незначний з \(\mathcal\) . Теорема Вагнера говорить нам, що коли \(\mathcal\) це сімейство плоских графів, \(\mathcal = \\>\) . Формула Ейлера має деякі важливі наслідки.
Слідство \(\PageIndex<1>\) \(G\) Дозволяти бути зв’язаний графік. Тоді кожне планарне вбудовування \(G\) має однакову кількість граней. Доказ У нас є \(|V | − |E| + |F| = 2\) . Оскільки \(|V|\) і \(|E|\) не залежать від вибору вбудовування, ми \(|F| = 2 + |E| − |V|\) не можемо залежати від вибору вбудовування.
Слідство \(\PageIndex<2>\) Якщо \(G\) простий пов’язаний планарний граф і \(|V| ≥ 3\) , то \[|E| ≤ 3|V| − 6\] Якщо крім того, не \(G\) має циклів довжини менше \(4\) , то \(|E| ≤ 2|V| − 4\) . Доказ Виправте площинне вбудовування \(G\) . Пересуваємося по кожній грані, вважаючи кількість країв, з якими стикаємося, і відпрацьовуємо результат двома способами. Спочатку ми дивимося на кожне обличчя по черзі і підраховуємо, скільки країв оточує це обличчя. Оскільки графік простий, кожна грань повинна бути оточена принаймні \(3\) ребрами, якщо не існує лише однієї грані. Якщо є тільки одна грань і при переміщенні навколо цієї грані ми не рахуємо хоча б \(3\) ребер, то граф – це дерево, яке має не більше одного ребра, так що \(|V| ≤ 2\) . Тому наш підрахунок прийде як мінімум \(3|F|\) . Кожен край або розділяє дві грані, або звисає в обличчя. У першому випадку це буде зараховано один раз, коли ми рухаємося навколо одного з двох осіб, що трапляються. В останньому випадку це буде зараховано двічі, коли ми рухаємось навколо обличчя, в яке воно бовтається: один раз, коли ми рухаємось всередину вздовж цієї звисаючої частини, і один раз, коли ми рухаємось назад назовні. Таким чином, кожне ребро зараховується рівно двічі, тому наш підрахунок дійде точно \(2|E|\) . Поєднуючи ці, ми бачимо \(2|E| ≥ 3|F|\) , що, так \(|F| ≤ \dfrac<2|E|>\) . Якщо не \(G\) має циклів довжини менше \(4\) , то кожна грань повинна бути оточена хоча б \(4\) ребрами, тому той же аргумент дає \(2|E| ≥ 4|F|\) , так що \(|F| ≤ \dfrac<|E|><2>\) . За формулою Ейлера \(|V| − |E| + |F| = 2\) , так \[|V| − |E| + \dfrac<2|E|> ≥ 2.\] Множення через \(3\) і переміщення \(|E|\) термінів в праву сторону, дає \[3|V| ≥ |E| + 6,\] які можна легко переставити у форму нашого оригінального твердження. У разі, коли не \(G\) має циклів довжини менше \(4\) , отримуємо замість \[|V| − |E| + \dfrac<|E|> <2>≥ 2,\] Отже \(2|V| ≥ |E| + 4\) , який знову-таки можна легко переставити в форму, наведену в заяві цього слідства.
Слідство \(\PageIndex<3>\) Якщо \(G\) простий пов’язаний планарний граф, то \(δ(G) ≤ 5\) . Доказ До протиріччя, припустимо, що \(G\) це простий пов’язаний планарний граф, і для кожного \(v ∈ V\) , \(d(v) ≥ 6\) . Тоді \[\sum_ d(v) ≥ 6|V|.\] За допомогою леми рукостискання Ейлера, це дає \[\sum_ d(v) = 2|E| ≥ 6|V |.\] Тому, \[|E| ≥ 3|V | > 3|V | − 6,\] але це суперечить Слідству 15.2.2.
Формула Ейлера (і її наслідки) дають нам набагато простіший спосіб довести, що \(K_5\) і не \(K_<3,3>\) є площинними.
Слідство \(\PageIndex<4>\) Графік \(K_5\) не плоский. Доказ У \(K_5\) нас є \(|E| = \binom = 10\) , і \(|V| = 5\) . Отже, \[3|V| − 6 = 15 − 6 = 9 < 10 = |E|\] За наслідком 15.2.2, не \(K_5\) повинен бути площинним.
Слідство \(\PageIndex<5>\) Графік \(K_\) не планарний Доказ У \(K_\) нас є \(|E| = 9\) , і \(|V| = 6\) . Отже, \[2|V | − 4 = 12 − 4 = 8 < 9 = |E|\] Оскільки \(K_\) двосторонній, він не має циклів довжини менше \(4\) , ніж, тому за наслідком 15.2.2, не \(K_\) повинен бути площинним
Вправа \(\PageIndex<1>\) 1) Використовуйте індукцію, щоб довести формулу Ейлера для планарних графіків, які мають рівно дві з’єднані компоненти. 2) Формула Ейлера може бути узагальнена до нероз’єднаних графіків, але має додаткову змінну для кількості зв’язаних компонентів графа. Вгадайте, якою буде ця формула, і використовуйте індукцію, щоб довести свою відповідь. 3) Знайти і довести наслідок формули Ейлера для нероз’єднаних графіків, подібний до Слідство 15.2.2. (Використовуйте свою відповідь на питання \(2\) .) 4) Для графіків, вбудованих на тор, \(|V| − |E| + |F|\) має різне (але постійне) значення, до тих пір, поки всі грані «виглядають як» диски. (Якщо ви знайомі з топологією, грані повинні бути вбудовані в площину, а не виглядати як тор. Отже, розміщення планарного вбудовування графіка вниз на одній стороні тора не враховується.) Що це за величина? 5) Визначення. Ми говоримо, що планарне вбудовування графа є самоподвійним, якщо він ізоморфний до його плоского подвійного. Доведіть, що якщо планарне вбудовування зв’язаного графа \(G\) є самоподвійним, то \(|E| = 2|V| − 2\) . 6) Визначення. Доповненням \(G\) є граф з тими ж вершинами, що і \(G\) , але чиї ребра є саме неребрами \(G\) . ( \(u\) Тобто примикає до \(v\) в доповненні \(G\) якщо і тільки \(u\) не примикає до \(v\) в \(G\) .) Тому, якщо \(G^c\) є доповненням \(G\) , то \(E(K_<|V(G)|>)\) є розмежованим об’єднанням \(E(G)\) і \(E(G^c)\) . Показати, що якщо \(G\) це простий планарний граф з принаймні одинадцятьма вершинами, то доповнення не \(G\) є площинним. 7) Знайдіть планарний граф, \(G\) з доповненням \(|V| = 8\) якого також є планарним. 8) Для кожного з наступних наборів умов або намалюйте зв’язаний простий графік \(G\) у площині, який задовольняє умовам, або поясніть, як ви знаєте, що його немає. (a) Граф має \(15\) вершини та \(12\) ребра. (b) Граф має \(10\) вершини та \(33\) ребра. (c) Граф має \(5\) вершини та \(8\) ребра. (d) Графік має \(6\) вершини та \(9\) ребра, а вбудовування має 6 граней
Recommended articles
7.3: Метод Ейлера
У розділі 7.2 ми побачили, як поле нахилу можна використовувати для ескізу розв’язків диференціального рівняння. Зокрема, поле нахилу – це ділянка великої колекції дотичних ліній до великої кількості розв’язків диференціального рівняння, і ми накидаємо єдине рішення, просто слідуючи цим дотичним лініям. Трохи більше роздумів, ми можемо використовувати цю саму ідею для наближення чисельно розв’язків диференціального рівняння.
Попередній перегляд Активність 7.3.1
Розглянемо початкову задачу значення
\[ \frac = \frac12 (y + 1), \ y(0) = 0\text <.>\nonumber \]
a Використовуйте диференціальне рівняння, щоб знайти нахил дотичної прямої до розв’язку \(y(t)\) на \(t=0\text<.>\) Тоді використовуйте задане початкове значення, щоб знайти рівняння дотичної прямої при \(t=0\text<.>\)
б. намалюйте дотичну лінію по осях, передбачених на малюнку 7.3.1, на інтервалі \(0\leq t\leq 2\) і використовуйте її для \(y(2)\text\) наближення величини розчину при \(t=2\text<.>\)
Малюнок 7.3.1. Сітка для побудови дотичної лінії.
c Припускаючи, що ваше наближення для \(y(2)\) є фактичним значенням \(y(2)\text\) використання диференціального рівняння, щоб знайти нахил дотичної прямої до \(y(t)\) at \(t=2\text<.>\) Тоді, запишіть рівняння дотичної прямої на \(t=2\text<.>\)
d Додайте ескіз цієї дотичної лінії на інтервалі \(2\leq t\leq 4\) до вашого графіка Рисунок 7.3.1; використовуйте цю нову дотичну лінію для \(y(4)\text\) наближення значення розв’язку при \(t=4\text<.>\)
е Повторіть той же крок, щоб знайти наближення для \(y(6)\text<.>\)
7.3.1 Метод Ейлера
Preview Activity 7.3.1 демонструє алгоритм, відомий як метод Ейлера 1 , який генерує числове наближення до розв’язання задачі початкового значення. У цьому алгоритмі ми наблизимо рішення, взявши горизонтальні кроки фіксованого розміру, які позначимо \(\Delta t\text<.>\)
«Ейлер» вимовляється «Ой-лер». Крім усього іншого, Ейлер – математик, який приписують знамените число, \(e\text<;>\) якщо ви неправильно вимовляєте його ім’я «Ви-лер», ви не зможете оцінити його геніальність і спадщину.
Перш ніж детально пояснити алгоритм, згадаємо, як ми обчислюємо нахил лінії: нахил – це відношення зміни вертикалі до зміни горизонталі, як показано на малюнку 7.3.2.
Іншими словами, \(m = \frac\text<.>\) Рішення для \(\Delta y\text\) ми бачимо, що вертикальна зміна є добутком нахилу та зміни горизонталі, або
Тепер припустимо, що ми хотіли б вирішити початкову задачу
Існує алгоритм, за допомогою якого ми можемо знайти алгебраїчну формулу для вирішення цієї початкової задачі значення, і ми можемо перевірити, що це рішення \(y(t) = t -1 + 2e^\text<.>\) Але ми замість цього зацікавлені в генеруванні приблизного рішення шляхом створення послідовності точок \((t_i, y_i)\text\) де \(y_i\approx y(t_i)\text<.>\) Для цього спочатку приклад, вибираємо \(\Delta t = 0.2\text<.>\)
Оскільки ми знаємо, що \(y(0) = 1\text\) ми будемо приймати початкову точку бути \((t_0,y_0) = (0,1)\) і рухатися по горизонталі \(\Delta t = 0.2\) до точки \((t_1,y_1)\text<.>\) Таким чином, \(t_1=t_0+\Delta t = 0.2\text<.>\) Тепер диференціальне рівняння говорить нам, що нахил дотичної лінії в цій точці
тому, щоб рухатися вздовж дотичної лінії, взявши горизонтальний крок розміру, \(\Delta t=0.2\text\) ми також повинні рухатися вертикально
Потім ми маємо наближення \(y(0.2) \approx y_1= y_0 + \Delta y = 1 – 0.2 = 0.8\text<.>\) У цьому пункті ми виконали один крок методу Ейлера, як показано графічно на малюнку 7.3.3.
Тепер повторюємо цей процес: при \((t_1,y_1) = (0.2,0.8)\text\) диференціальному рівнянні говорить нам, що нахил
Якщо ми рухаємося вперед по горизонталі \(\Delta t\) , то \(t_2=t_1+\Delta = 0.4\text\) ми повинні рухатися вертикально
Отже, ми \(y_2=y_1+\Delta y = 0.8-0.12 = 0.68\text\) приходимо до якого дає \(y(0.2)\approx 0.68\text<.>\) Тепер ми завершили другий крок методу Ейлера, як показано на малюнку 7.3.4.
Якщо ми продовжимо таким чином, ми можемо генерувати точки, \((t_i, y_i)\) показані на малюнку 7.3.5. Оскільки ми можемо знайти формулу фактичного \(y(t)\) розв’язку цього диференціального рівняння, ми можемо зробити графік \(y(t)\) і порівняти його з точками, породженими методом Ейлера, як показано на малюнку 7.3.6.
Оскільки нам потрібно генерувати велику кількість точок, \((t_i,y_i)\text\) зручно організувати реалізацію методу Ейлера в таблиці, як показано на малюнку. Починаємо з заданих вихідних даних.
Звідси обчислюємо нахил дотичної прямої, \(m=dy/dt\) використовуючи формулу для \(dy/dt\) з диференціального рівняння, а потім знаходимо \(\Delta y\text\) зміну у \(y\text\) використанні правила \(\Delta y = m\Delta t\text<.>\)
Далі ми збільшуємо \(t_i\) на \(\Delta t\) і \(y_i\) на, \(\Delta y\) щоб отримати
Ми продовжуємо процес протягом багатьох кроків, які ми вирішуємо, врешті-решт генеруючи таблицю, як Таблиця 7.3.7.
| \(t_i\) | \(y_i\) | \(dy/dt\) | \(\Delta y\) |
| \(0.0000\) | \(1.0000\) | \(-1.0000\) | \(-0.2000\) |
| \(0.2000\) | \(0.8000\) | \(-0.6000\) | \(-0.1200\) |
| \(0.4000\) | \(0.6800\) | \(-0.2800\) | \(-0.0560\) |
| \(0.6000\) | \(0.6240\) | \(-0.0240\) | \(-0.0048\) |
| \(0.8000\) | \(0.6192\) | \(0.1808\) | \(0.0362\) |
| \(1.0000\) | \(0.6554\) | \(0.3446\) | \(0.0689\) |
| \(1.2000\) | \(0.7243\) | \(0.4757\) | \(0.0951\) |
Активність 7.3.2
Розглянемо початкову задачу значення
- Використовуйте метод Ейлера з, \(\Delta t = 0.2\) щоб наблизити рішення на \(t_i = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8\text\) і \(1.0\text\) Запишіть свою роботу в наступній таблиці та намалюйте точки \((t_i, y_i)\) на наведених осях.
| \(t_i\) | \(y_i\) | \(dy/dt\) | \(\Delta y\) |
| \(0.0000\) | \(0.0000\) | ||
| \(0.2000\) | |||
| \(0.4000\) | |||
| \(0.6000\) | |||
| \(0.8000\) | |||
| \(1.0000\) |
Активність 7.3.3
Розглянемо диференціальне рівняння \(\frac = 6y-y^2\text<.>\)
- Намалюйте поле нахилу для цього диференціального рівняння на осях, передбачених на малюнку 7.3.10. Малюнок 7.3.10. Сітка для побудови поля нахилу заданого диференціального рівняння.
- Визначте будь-які рівноважні рішення та визначте, стабільні вони чи нестабільні.
- Яке довгострокова поведінка рішення, яке задовольняє початковому значенню \(y(0) = 1\text\)
- Використовуючи початкове значення, \(y(0) = 1\text\) використовуйте метод Ейлера з \(\Delta t = 0.2\) для наближення рішення в \(t_i = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8\text\) і \(1.0\text<.>\) Запишіть свої результати в таблиці 7.3.11 і намалюйте відповідні точки \((t_i, y_i)\) на осях, наведених на малюнку 7.3.12. Зверніть увагу на різну горизонтальну шкалу на осях на малюнку 7.3.12 порівняно з малюнком 7.3.10.
| \(t_i\) | \(y_i\) | \(dy/dt\) | \(\Delta y\) |
| \(0.0\) | \(1.0000\) | ||
| \(0.2\) | |||
| \(0.4\) | |||
| \(0.6\) | |||
| \(0.8\) | |||
| \(1.0\) |
7.3.2 Помилка в методі Ейлера
Оскільки ми наближаємо розв’язки до задачі початкового значення за допомогою дотичних ліній, слід очікувати, що похибка в наближенні буде меншою, коли розмір кроку менший. Розглянемо початкову задачу значення
рішення якого ми можемо легко знайти.
Питання, поставлене цією початковою задачею значення, полягає в тому, «яку функцію ми знаємо, що така ж, як і її власна похідна і має значення 1, коли \(t=0\text\) » Не важко побачити, що рішення є \(y(t) = e^t\text<.>\) Ми тепер застосовуємо метод Ейлера для наближення, \(y(1) = e\) використовуючи кілька значень \(\Delta t\text<.>\) цих наближення будуть \(E_\text\) позначені, і ми будемо використовувати їх, щоб побачити, наскільки точним є метод Ейлера.
Для початку ми застосовуємо метод Ейлера з розміром кроку \(\Delta t = 0.2\text<.>\) У цьому випадку ми виявимо, що \(y(1) \approx E_ = 2.4883\text<.>\) Помилка, отже,
Повторне халвінг \(\Delta t\) дає наступні результати, виражені як в табличному, так і в графічному вигляді.
| \(\Delta t\) | \(E_\) | Помилка |
| \(0.200\) | \(2.4883\) | \(0.2300\) |
| \(0.100\) | \(2.5937\) | \(0.1245\) |
| \(0.050\) | \(2.6533\) | \(0.0650\) |
| \(0.025\) | \(2.6851\) | \(0.0332\) |
Зверніть увагу, як чисельно, так і графічно, що помилка зменшується приблизно вдвічі, коли \(\Delta t\) зменшується вдвічі. Цей приклад ілюструє наступний загальний принцип.
Якщо метод Ейлера використовується для наближення розв’язку до задачі початкового значення в точці, \(\overline\text\) то похибка пропорційна \(\Delta t\text<.>\) Тобто
для деякої константи пропорційності \(K\text<.>\)
7.3.3 Резюме
- Метод Ейлера – це алгоритм наближення розв’язку до задачі початкового значення, слідуючи за дотичними лініями, поки ми робимо горизонтальні кроки поперек \(t\) -осі.
- Якщо ми хочемо наблизити \(y(\overline)\) для деяких \(\overline\) фіксованих, взявши горизонтальні кроки розміру, \(\Delta t\text\) то похибка в нашому наближенні пропорційна \(\Delta t\text\)
Recommended articles
- Article type Section or Page License CC BY-SA License Version 4.0 Show Page TOC No on Page
- Tags
- authorname:activecalc
- Euler’s Method
- source@https://activecalculus.org/single
- source[translate]-math-107840