2.4: Прямий кут

\(AOB\) Кут прямий, якщо і тільки якщо \(O\) лежить між \(A\) і \(B\) . Доказ За пропозицією 2.2.2 ми можемо припустити, що \(OA = OB = 1\) . Частина «Якщо». Припустимо \(O\) брехня між \(A\) і \(B\) . Набір \(\alpha = \measuredangle AOB\) . Застосовуючи Axiom IIIa, отримуємо полустрочку \([OA’)\) таку, що \(\alpha = \measuredangle BOA’\) . За пропозицією 2.2.2 можна припустити, що \(OA’ = 1\) . Відповідно до Аксіоми IV, \(\triangle AOB \cong \triangle BOA’\) . Припустимо, що \(f\) позначає відповідний рух площини; \(f\) тобто рух таке \(f(A) = B\) , що \(f(O) = O\) , і \(f(B) = A’\) . Тоді \(O = f(O) \in f(AB) = (A’B)\) . Тому обидва рядки \((AB)\) і \((A’B)\) містять \(B\) і \(O\) . За аксіомою II, \((AB) = (A’B)\) . За визначенням прямої, \((AB)\) містить рівно дві точки \(A\) і \(B\) на відстані 1 від \(O\) . Так як \(OA’ = 1\) і \(A’ \ne B\) , ми отримуємо, що \(A = A’\) . За аксіомою IIiB та пропозицією 2.3.1 ми отримуємо, що \[\begin & = & <\measuredangle AOB + \measuredangle BOA' =>\\ <> & = & <\measuredangle AOB + \measuredangle BOA \equiv>\\ <> & equiv & <\measuredangle AOA =>\\ <> & = & \end\] Тому, за вправою 1.8.1 \(\alpha\) , або 0, або \(\pi\) . Оскільки \([OA) \ne [OB)\) ми маємо це \(\alpha \ne 0\) , див. Вправа 2.3.1. Тому, \(\alpha = \pi\) . «Тільки якщо» частина. Припустимо, що \(\measuredangle AOB = \pi\) . Розглянемо лінію \((OA)\) і вибираємо точку \(B’\) на \((OA)\) так, щоб \(O\) лежала між \(A\) і \(B’\) . Зверху ми маємо це \(\measuredangle AOB’ = \pi\) . Застосовуючи Axiom IIia, отримуємо це \([OB) = [OB’)\) . Зокрема, \(O\) лежить між \(A\) і \(B\) .

Трикутник \(ABC\) називається виродженим якщо \(A, B\) , і \(C\) лежати на одній лінії. Наступний наслідок є лише переформулюванням теореми 2.4.1.

Слідство \(\PageIndex\)

Трикутник вироджується тоді і тільки тоді, коли один з його кутів дорівнює \(\pi\) або 0. Більше того, у виродженому трикутнику кутові заходи 0, 0, і \(\pi\) .

7.1.2: Властивості кутів

Уявіть собі дві окремі та чіткі лінії на площині. Є дві можливості для цих ліній: вони або перетинаються в одній точці, або ніколи не перетинаються. При перетині двох ліній утворюється чотири кути. Розуміння того, як ці кути співвідносяться один з одним, може допомогти вам розібратися, як їх виміряти, навіть якщо у вас є лише інформація про розмір одного кута.

Паралельно і перпендикуляр

Паралельні лінії – це дві або більше ліній, які ніколи не перетинаються. Так само паралельні відрізки лінії – це два відрізки ліній, які ніколи не перетинаються, навіть якщо відрізки лінії були перетворені на лінії, які тривали назавжди. Приклади паралельних відрізків ліній знаходяться навколо вас, з двох сторін цієї сторінки і на полицях книжкової шафи. Коли ви бачите лінії або структури, які, здається, йдуть в одному напрямку, ніколи не перетинають один одного і завжди знаходяться на однаковій відстані один від одного, є велика ймовірність, що вони паралельні.

Перпендикулярні лінії – це дві лінії, які перетинаються під кутом 90 о (правий). І перпендикулярні відрізки лінії також перетинаються під кутом 90 о (правий). Приклади перпендикулярних ліній також можна побачити всюди: на графічному папері, у схемі перетину доріг на перетині, до кольорових ліній плед-сорочки. У нашому повсякденному житті ви можете бути щасливі назвати дві лінії перпендикулярно, якщо вони просто здаються під прямим кутом один до одного. Однак при вивченні геометрії потрібно переконатися, що дві лінії перетинаються під кутом 90 o , перш ніж оголосити їх перпендикулярними.

На зображенні нижче показані деякі паралельні і перпендикулярні лінії. Геометричним символом паралелі є ||, тож ви можете це показати \(\ \overleftrightarrow \| \overleftrightarrow\) . Паралельні лінії також часто позначаються маркуванням >> на кожному рядку (або просто єдиною> на кожному рядку). Перпендикулярні лінії позначаються символом \(\ \perp\) , тому можна писати \(\ \overleftrightarrow \perp \overleftrightarrow\) .

Якщо дві лінії паралельні, то будь-яка лінія, яка перпендикулярна одній лінії, також буде перпендикулярна іншій. Аналогічно, якщо дві лінії обидві перпендикулярні одній лінії, то ці дві лінії паралельні один одному. Давайте розглянемо один приклад і виділимо деякі з цих типів ліній.

Приклад

Визначте набір паралельних ліній і набір перпендикулярних ліній на зображенні нижче.

Рішення

Паралельні лінії ніколи не зустрічаються, а перпендикулярні лінії перетинаються під прямим кутом.

\(\ \overleftrightarrow\) і \(\ \overleftrightarrow\) не перетинаються в цьому зображенні, але якщо ви уявляєте, що подовжують обидві лінії, вони скоро перетинаються. Так, вони не є ні паралельними, ні перпендикулярними.

\(\ \overleftrightarrow \perp \overleftrightarrow, \overleftrightarrow \perp \overleftrightarrow\)

Вправа

Яке твердження найбільш точно представляє зображення нижче?

1. \(\ \overleftrightarrow \| \overleftrightarrow\)
2. \(\ \overleftrightarrow \perp \overleftrightarrow\)
3. \(\ \overleftrightarrow \| \overleftrightarrow\)
4. \(\ \overleftrightarrow \| \overleftrightarrow\)

1. Неправильний. На цьому зображенні показані лінії \(\ \overleftrightarrow\) і \(\ \overleftrightarrow\) , а не \(\ \overleftrightarrow\) і \(\ \overleftrightarrow\) . Обидва \(\ \overleftrightarrow\) і \(\ \overleftrightarrow\) позначені >> на кожному рядку, і ці маркування означають, що вони паралельні. Правильна відповідь – \(\ \overleftrightarrow \| \overleftrightarrow\) .
2. Неправильний. \(\ \overleftrightarrow\) дійсно перетинаються \(\ \overleftrightarrow\) , але перетин не утворює прямого кута. Це означає, що вони не можуть бути перпендикулярними. Правильна відповідь – \(\ \overleftrightarrow \| \overleftrightarrow\) .
3. Правильно. Обидва \(\ \overleftrightarrow\) і \(\ \overleftrightarrow\) позначені >> на кожному рядку, і ці маркування означають, що вони паралельні.
4. Неправильний. \(\ \overleftrightarrow\) і \(\ \overleftrightarrow\) перетинаються, тому вони не можуть бути паралельними. Обидва \(\ \overleftrightarrow\) і \(\ \overleftrightarrow\) позначені >> на кожному рядку, і ці маркування означають, що вони паралельні. Правильна відповідь – \(\ \overleftrightarrow \| \overleftrightarrow\) .

Пошук кутових вимірювань

Розуміння того, як паралельні та перпендикулярні лінії співвідносяться, може допомогти вам з’ясувати вимірювання деяких невідомих кутів. Для початку все, що вам потрібно пам’ятати, це те, що перпендикулярні лінії перетинаються під кутом 90 о , і що прямий кут вимірює 180 o .

Міра такого кута, як \(\ \angle A\) пишеться як \(\ m \angle A\) . Подивіться на приклад нижче. Як можна знайти виміри немаркованих кутів?

Приклад

Знайдіть вимір \(\ \angle I J F\) .

Рішення

Тільки один кут \(\ \angle H J M\) , позначений на зображенні. Зверніть увагу, що це прямий кут, тому він вимірює 90 o .

\(\ \angle H J M\) утворюється перетином ліній \(\ \overleftrightarrow\) і \(\ \overleftrightarrow\) . Так як \(\ \overleftrightarrow\) є лінією, \(\ \angle I J M\) є прямий кут розміром 180 о .

Ви можете використовувати цю інформацію, щоб знайти вимірювання \(\ \angle H J I\) :

\ (\\ почати
м\ кут H J м+м\ кут H J I = м\ кут I J M\
90^ +м\ кут H J I = 180^ \\
м\ кут H J I = 90^
\ кінець \)

Ви знаєте, що \(\ \angle H J I\) заходи 90 o . Використовуйте цю інформацію, щоб знайти вимірювання \(\ \angle I J F\) :

\ (\\ почати
м\ кут H J i+M\ кут I J F = м\ кут H J F\\
90^ +м\ кут I J F = 180^ \\
м\ кут I J F = 90^
\ кінець \)

У цьому прикладі ви, можливо, помітили, що \(\ \angle H J I, \angle I J F, \text < and >\angle H J M\) кути всі прямі кути. (Якби вас попросили знайти вимірювання \(\ \angle F J M\) , ви б виявили, що кут буде 90 o , теж.) Це те, що відбувається, коли дві лінії перпендикулярні: чотири кути, створені перетином, є прямими кутами.

Однак не всі перехрестя трапляються під прямим кутом. У наведеному нижче прикладі зверніть увагу, як ви можете використовувати ту саму техніку, як показано вище (використовуючи прямі кути), щоб знайти вимірювання відсутнього кута.

Приклад

Знайдіть вимір \(\ \angle D A C\) .

Рішення

Використовуйте цю інформацію, щоб знайти вимірювання \(\ \angle D A C\) .

\ (\\ почати
м\ кут B A D+м\ кут D A C = м\ кут B A C\\
135^ +м\ кут D A C=180^ \
\ кут D A C = 45^
\ кінець \)