ГЕОМЕТРІЯ
Уроки для 8 класів

Мета: домогтися засвоєння учнями означення паралелограма, означення додаткових елементів паралелограма, формулювання і доведення теореми про властивість кутів і сторін паралелограма; сформувати первинні вміння відтворювати вивчені означення і властивості, а також використовувати їх разом із вивченими раніше властивостями та ознаками паралельних прямих для розв’язування задач на доведення та обчислення.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Наочність та обладнання: конспект «Паралелограм».

II. Перевірка домашнього завдання

Збираємо зошити учнів на перевірку.

III. Формулювання мети і завдань уроку

Для створення відповідної мотивації діяльності учнів та з метою надання допомоги в усвідомленні необхідності вивчення матеріалу уроку можна запропонувати виконати логічне завдання.

Розглянути фігури на рисунку 1 та знайти схожі і відмінні риси. Усі фігури поділити на групи за схожістю.

Гіпотетично учні мають побачити серед спільних та відмінних рис многокутників, зображених на рисунку, кількість кутів та наявність паралельних сторін.

Після виконання завдання вчитель звертає увагу учнів на групу чотирикутників із двома парами паралельних сторін (до цієї групи увійшли знайомі учням із початкових класів квадрат і прямокутник). Зрозуміло, що виділення серед різного виду опуклих чотирикутників групи таких, що мають дві пари паралельних сторін, обумовлює необхідність ретельного вивчення загальних властивостей цих чотирикутників та систематизації за видами.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь

Виконання усних вправ за готовими рисунками

План вивчення нового матеріалу

1. Означення паралелограма.

3. Властивості сторін і кутів паралелограма.

@ Вивчення матеріалу уроку проводиться за традиційною схемою: спочатку формулюється означення паралелограма (як чотирикутника, що має дві пари паралельних сторін), а потім вивчаються властивості сторін, кутів і діагоналей паралелограма. Властивості елементів паралелограма можна сформулювати як загальну теорему (і цілком логічно, бо доведення всіх трьох властивостей здійснюється за загальною схемою — через рівність трикутників).

Слід зазначити, що під час вивчення означення паралелограма слід вкотре звернути увагу учнів на факт, що викладений у таблиці 1 (див. Геометрія в таблицях, Є. П. Нелін), а саме: якщо даний чотирикутник є паралелограмом, то це означає, що його сторони попарно паралельні, і навпаки, якщо деякий чотирикутник має дві пари паралельних сторін, то такий чотирикутник є паралелограмом (цю властивість означення слід закріпити під час виконання усних вправ як на готових рисунках, так і на паралелограмах, заданих переліком своїх вершин).

Одразу слід пояснити учням, що, виконуючи зображення паралелограма в зошитах (розлінованих у клітинку), використовують зазвичай такий прийом: із вузла клітинок проводять два нерівних і непаралельних відрізки (під певним кутом), а вже потім із кінців цих відрізків проводять відрізки, відповідно паралельні (і рівні) даним.

Під час вивчення властивостей кутів паралелограма слід звернути увагу на те, що властивість сусідніх кутів паралелограма розглядається як прямий наслідок означення паралелограма (сусідні кути паралелограма є внутрішніми односторонніми кутами при паралельних прямих, що містять протилежні сторони паралелограма).

Під час доведення теореми про властивість сторін, кутів і діагоналей паралелограма використовується рівність трикутників, що утворюються при проведенні в паралелограмі однієї з діагоналей (для доведення рівності протилежних сторін та протилежних кутів паралелограма) або двох діагоналей (для доведення властивостей діагоналей паралелограма). Тому навіть самостійне доведення цієї теореми (особливо після належним чином проведеної актуалізації знань та вмінь учнів — див. вище) зазвичай не викликає труднощів в учнів. Необхідно також розглянути формулу периметра паралелограма як наслідок властивості сторін паралелограма, яка досить часто використовується в розв’язуванні задач. Зверніть увагу учнів на властивість діагоналей паралелограма, що була здобута на проміжному етапі доведення властивостей кутів і сторін паралелограма (Є. П. Нелін виділяє її як окрему властивість діагоналей паралелограма — див. Геометрія в таблицях Є. П. Нелін, таблиця 16) — діагональ паралелограма ділить його на два рівних трикутники. Повний перелік властивостей паралелограма міститься у конспекті «Паралелограм».

Означення. Чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні парами, називається паралелограмом.

ABCD — паралелограм AB || СD, BС || AD

Паралелограм. Означення та властивості паралелограма

Паралелограм – це двовимірна фігура, сторони якої паралельні одна одній.

Паралелограм – це тип багатокутника, який має чотири сторони (так звані чотирикутники), де пара паралельних сторін має однакову довжину. Крім того, протилежні внутрішні кути паралелограма мають однакові розміри.

Сума суміжних кутів паралелограма дорівнює 180 градусів.

В даній публікації ми дізнаємося про основні властивості паралелограмів і використаємо їх для розв’язання деяких задач.

Що таке паралелограм?

Паралелограм – це чотирикутник, у якого кожні дві протилежні сторони паралельні. Окремими випадками паралелограма є прямокутник, квадрат і ромб.

Зауваження: якщо діагоналі паралелограма рівні, то він є прямокутником; якщо діагоналі паралелограма перпендикулярні між собою, то цей паралелограм є ромбом; якщо діагоналі паралелограма рівні та перпендикулярні між собою, то цей паралелограм є квадратом (тобто квадрат об’єднує ознаки прямокутника та ромба).

Висотою паралелограма називають перпендикуляр, опущений з будь-якої точки прямої, яка містить сторону паралелограма, на пряму, що містить протилежну сторону.

На рисунку, що міститься нижче, кожен із відрізків є висотою паралелограма . При цьому, кажуть що висоти проведено до сторін і , а висоти – до сторін і відповідно.

Властивості паралелограма.

Основними властивостями паралелограма є:

Для того, щоб довести це твердження розглянемо паралелограм , проведемо одну з його діагоналей, а саме , і покажемо, що трикутники та рівні.

Отже, виходячи з того, що у цих трикутників сторона – спільна, кути 1 та 2 рівні як різносторонні при паралельних прямих та і січній , кути 3 та 4 рівні як різносторонні при паралельних прямих та і січній , приходимо до висновку, що трикутники та рівні за другою ознакою рівності трикутників.

Для доведення властивості номер два знову-таки розглянемо паралелограм з рисунка вище, і покажемо, що і .

Отже, під час доведення попередньої властивості, було встановлено, що . Звідси, . З рівності кутів 1 і 2 та 3 і 4 випливає, що . Отже, .

На рисунку, що міститься вище, зображено паралелограм , діагоналі якого перетинаються в точці . Доведемо, що і . Для цього, розглянемо трикутники і .

Виходячи з того, що та і та рівні як різносторонні при паралельних прямих і та січних та відповідно, то, скориставшись властивістю номер один, отримаємо, що . Отже, трикутники і рівні за другою ознакою рівності трикутників.

Задачі на тему «Означення та властивості паралелограма».

Приклад 1: яка різниця між паралелограмом і чотирикутником?

Усі паралелограми є чотирикутниками, але всі чотирикутники не обов’язково є паралелограмами. Наприклад, трапеція є чотирикутником, але не паралелограмом. Щоб чотирикутник був паралелограмом, усі протилежні сторони мають бути паралельні та рівні одна одній.

Приклад 2: які властивості паралелограма?

Властивості паралелограма такі:

• протилежні сторони паралелограма рівні;
• протилежні кути паралелограма рівні;
• діагоналі паралелограма точкою перетину діляться навпіл.

Приклад 3: чи є ромб паралелограмом?

Так, ромб – це паралелограм, у якого протилежні сторони паралельні, а протилежні кути рівні. Крім того, всі сторони ромба рівні, а діагоналі ділять одна одну навпіл під прямим кутом.

Приклад 4: у паралелограмі кут дорівнює 90 градусів. Покажіть, що всі його кути прямі.

Отже, переглянувши властивості паралелограма, бачимо що протилежні його кути рівні. Отже, . Ми також знаємо, що сума суміжних кутів паралелограма дорівнює 180 градусів. Отже,

Оскільки всі три кути паралелограма дорівнюють 90 градусів, то кут також дорівнює 90 градусів.

Приклад 5: бісектриса тупого кута паралелограма ділить його сторону у відношенні , рухаючи від вершини гострого кута. Знайти сторони паралелограма, якщо його периметр дорівнює .

Отже, нехай бісектриса тупого кута паралелограма перетинає сторону в точці .

Тоді, за умовою, . Кути і рівні також за умовою. Кути і рівні як різносторонні при паралельних прямих і та січній . Тоді . Таким чином, трикутник рівнобедрений, що свідчить про те, що .

Припустимо тепер, що . Тоді , а .

Оскільки протилежні сторони паралелограма рівні, то його периметр обчислюється за формулою . Звідси, виходячи з того, що, за умовою, периметр паралелограма дорівнює , отримаємо:

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про паралелограми? Перегляньте ці сторінки: