3.2: Похідна як функція

Як ми бачили, похідна функції в даній точці дає нам швидкість зміни або нахилу дотичної лінії до функції в цій точці. Якщо ми диференціюємо позиційну функцію в даний час, ми отримаємо швидкість в той час. Здається розумним зробити висновок, що знання похідної функції в кожній точці дасть цінну інформацію про поведінку функції. Однак процес знаходження похідної навіть у декількох значень за допомогою методів попереднього розділу швидко став би досить нудним. У цьому розділі ми визначаємо похідну функцію і вивчимо процес її знаходження.

Похідні функції

Похідна функція дає похідну функції в кожній точці області початкової функції, для якої визначено похідну. Ми можемо формально визначити похідну функцію наступним чином.

Визначення: похідна функція

\(f\) Дозволяти бути функцією. Похідна функція, позначається \(f’\) , – це функція, область якої складається з тих значень \(x\) таких, що існує наступна межа:

\(f(x)\) Функція, як кажуть, диференційована \(a\) при \(f'(a)\) наявності. Більш загально, функція вважається диференційованою, \(S\) якщо вона диференційована в кожній точці відкритої множини \(S\) , а диференційована функція – це та, в якій \(f'(x)\) існує на її області.

У наступних прикладах ми використовуємо Equation\ ref для пошуку похідної функції.

Приклад \(\PageIndex\) : Finding the Derivative of a Square-Root Function

Знайдіть похідну від \(f(x)=\sqrt\) .

Почніть безпосередньо з визначення похідної функції.

Приклад \(\PageIndex\) : Finding the Derivative of a Quadratic Function

Знайдіть похідну функції \(f(x)=x^2−2x\) .

Виконайте ту ж процедуру тут, але без необхідності множення на сполучений.

Вправа \(\PageIndex\)

Знайдіть похідну від \(f(x)=x^2\) .

Використовуйте Equation\ ref і дотримуйтесь прикладу.

Ми використовуємо безліч різних позначень для вираження похідної функції. У прикладі \(\PageIndex\) ми показали, що якщо \(f(x)=x^2−2x\) , то \(f'(x)=2x−2\) . Якби ми висловили цю функцію у вигляді \(y=x^2−2x\) , ми могли б висловити похідну як \(y′=2x−2\) або \(\dfrac=2x−2\) . Ми могли б передати ту ж інформацію, написавши \(\dfrac\left(x^2−2x\right)=2x−2\) . Таким чином, для функції \(y=f(x)\) кожне з наступних позначень являє собою похідну від \(f(x)\) :

На місці \(f'(a)\) ми також можемо використовувати \(\dfrac\Big|_\) . Використання \(\dfrac\) позначень (званих позначенням Лейбніца) досить поширене в техніці та фізиці. Щоб краще зрозуміти це позначення, нагадайте, що похідна функції в точці є межею нахилів січних ліній, коли січні лінії наближаються до дотичної лінії. Нахили цих січних ліній часто виражаються в тому вигляді, \(\dfrac\) де \(Δy\) знаходиться різниця \(y\) значень, відповідних різниці \(x\) значень, які виражаються як \(Δx\) (рис. \(\PageIndex\) ). Таким чином, похідна, яку можна розглядати як миттєву швидкість зміни \(y\) щодо \(x\) , виражається як

Малюнок \(\PageIndex\) : Похідна виражається як \(\dfrac=\displaystyle\lim_\frac\) .

Графік похідної

Ми вже обговорювали, як графікувати функцію, тому, враховуючи рівняння функції або рівняння похідної функції, ми могли б її графікувати. Враховуючи обидва, ми очікуємо побачити відповідність між графіками цих двох функцій, оскільки \(f'(x)\) дає швидкість зміни функції \(f(x)\) (або нахил дотичної лінії до \(f(x)\) ).

У прикладі \(\PageIndex\) , ми виявили, що для \(f(x)=\sqrt\) , \(f'(x)=\frac<2\sqrt>\) . Якщо ми графуємо ці функції на однакових осях, як на малюнку \(\PageIndex\) , ми можемо використовувати графіки, щоб зрозуміти взаємозв’язок між цими двома функціями. По-перше, ми помічаємо, \(f(x)\) що збільшується по всій його області, а це означає, що нахили його дотичних ліній у всіх точках позитивні. Отже, ми очікуємо \(f'(x)>0\) для всіх значень x у своїй області. Крім того, \(x\) зі збільшенням нахили дотичних ліній до \(f(x)\) зменшуються, і ми очікуємо відповідного зменшення \(f'(x)\) . Ми також спостерігаємо, \(f(0)\) що не визначено і що \(\displaystyle \lim_f'(x)=+∞\) , що відповідає вертикальній дотичній до \(f(x)\) at \(0\) .

Малюнок \(\PageIndex\) : Похідна \(f'(x)\) всюди позитивна, \(f(x)\) оскільки функція збільшується.

У \(\PageIndex\) прикладі ми виявили, що для \(f(x)=x^2−2x,\; f'(x)=2x−2\) . Графіки цих функцій наведені на рис \(\PageIndex\) . Спостерігайте, \(f(x)\) що зменшується для \(x1\) , \(f(x)\) є збільшенням і \(f'(x)>0\) . Також, \(f(x)\) має горизонтальну дотичну при \(x=1\) і \(f'(1)=0\) .

Малюнок \(\PageIndex\) : Похідна, \(f'(x)0\) , а де збільшується. Похідна дорівнює нулю, де функція має горизонтальний тангенс.

Приклад \(\PageIndex\) : Sketching a Derivative Using a Function

Використовуйте наступний графік, \(f(x)\) щоб намалювати графік \(f'(x)\) .

Інтеграл простими словами

Інтеграли починають вивчати ще в школі. Але ніхто з учителів не каже, навіщо це потрібно, як використати ці знання у житті. Мало хто взагалі спроможний пояснити простими словами, що таке інтеграл, навіть в університеті. А ми спробуємо.

Простими словами…

Якщо коротко — інтеграл, це сума маленьких частин. Так, так само як і додавання 2+2, тільки частини нескінченно малі, природно і кількість їх — нескінченно.

Знак інтеграла ∫ — це витягнута літера s (довга “ес” існувала до початку 19 століття писалася так — ſ). Перша буква слова summa.

Інтегрування — це складання нескінченної кількості частин нескінченно невеликого значення.

Чому звичайного “плюсування” мало? Просто в алгебрі немає нескінченно малих чи великих.

Безкінечно мала величина, це не якесь конкретне число. Це абстракція, у реальному світі аналогів просто немає. Ми вигадали так для зручності. Щось настільки маленьке, що вимірювати його безглуздо, але в розрахунках можна використовувати.

Слово “інтеграл” походить від латинського integer, що означає “цілий”. Навіть у назві є натяк якась дія, щось на кшталт відновлення чогось цілого.

Найкраще показати “на пальцях”, точніше на прикладі. Припустимо, ми хочемо дізнатися площу фігури як на картинці (вона називається криволінійна трапеція, тому що одна зі сторін створена кривою лінією). Навіщо нам це потрібне? Наприклад, це частина крила літака і потрібно знати його площу.

Можна, звичайно, розбити фігуру на дві, прямокутник та трикутник.

Але залишиться “пробіл”, площа якого буде невідома. Щоб збільшити точність, можна розділяти на більше фігур, але все одно залишатиметься якась, нехай і невелика, але “не зафарбована” область.

Фігури ставатимуть дедалі менше… Очевидно, що процес подрібнення буде нескінченним, принаймні в уяві.

Але, насправді, нескінченний процес просто не потрібен. Насправді обчислити такі речі як площа кола, довжину діагоналі квадрата або обсяг піраміди неможливо, значення буде нескінченним, природно, практичного сенсу нескінченні числа не мають і ми їх “округлюємо” до потрібної межі точності приблизно.

Такий метод у Стародавній Греції називався “вичерпання”. Аналогія з водою тут дуже доречна, якщо уявити, що черпаєш із відра за допомогою гуртка, то спочатку гуртки будуть повні, але чим ближче до дна, тим менший обсяг потраплятиме в кухоль.

Першою відомою особистістю, яка “порпхувала інтеграл”, був Архімед, він фактично вирішив завдання щодо знаходження площі кола і площі параболи нічого не знаючи ні про ліміти, і навіть про число “пі”.

Чим більше буде фігур, тим більше буде і точність розрахунку і тим менше будуть самі фігурки. Якщо площа маленьких фігурок буде нескінченно малою, тобто наближатиметься до нуля (але не дорівнюватиме йому), сума всіх цих площ дорівнюватиме сумі великої фігури з нескінченно великою точністю.

Те саме відбувається при інтегруванні:
Фігура на картинці розбивається на стовпці нескінченно маленької ширини. Ширина у нас Х. Нескінченно мале число позначається d. Тобто dx це нескінченно малий “ікс”.

Складання нескінченного числа частин нескінченно маленького розміру це і є інтегрування.

Щоб дізнатися площу фігури потрібна ще висота, а це y. Висота скрізь не однакова, вона постійно змінюється. І ми знаємо, як саме!

Адже крива може бути (а може і не бути, але в нашому випадку так і є) функцією y = f (x), тобто значення змінюється за законом (буква f про це говорить) залежному від х. Тому “еф від ікс”. Отже висота це f(x). Функція, до речі, теж нескінченна.

Висота конкретного прямокутничка, це значення функції в цій конкретній точці (чому точці, тому що ширина смужки у нас нескінченно маленька, ми так домовилися на самому початку).

Площа, це висота помножена на ширину. За висоту можемо брати і y, і f(x), вони рівні. За ширину у нас грає dx. Отже, момент істини:

f(x)dx — площа нашого маленького стовпчика. Якщо зібрати з усіх разом, буде сума нескінченно маленьких стовпчиків.

Залишилося лише вказати, що ми цікавимося конкретним значенням. Наша крива, це частина параболи f(x)=x 2 .

А площа потрібна не нескінченної фігури, а тієї, що починається від 1 і закачується на 5. Якщо написати ці цифри над і під значком інтеграла, вийде визначений інтеграл.

Власне і все, інтеграл — це сума нескінченно малих прирощень (тобто значень) якоїсь функції. Не складно та не страшно, якщо не ускладнювати.

Що ми робимо? Розрізаємо фігуру на “стрічки” змінюємо площу цих стрічок і збираємо все назад (підсумовуємо).

Цікаво, скрізь йдеться про суму, а площа розраховується множенням. Парадокс? Ні, множення це те саме, що й додавання: 2+2+2+2=2*4.

Те саме відбувається і з площею. Щоб з’ясувати, яка площа прямокутника зі сторонами 5 і 4, перемножуємо 5 на 4, або розділяємо прямокутник на 5 смужок шириною в “одиницю” і складаємо 4+4+4+4+4=5*4=20.

Ніякого протиріччя тут немає. Ось тільки множення працює у разі однакових величин, простих фігур чи прямолінійного руху без прискорення. В інших випадках — інтегрування.

Навіщо потрібен інтеграл

З прикладу вище вже зрозуміло, що одне з корисних завдань інтегрування — це розрахунок площі криволінійних фігур. У будь-якій складній ситуації, якщо ця складність полягає криволінійності або нерівномірності ми використовуємо інтеграл.

Але кращий спосіб пояснити, що таке інтеграл простими словами — показати ще пару прикладів. Як колись у дитинстві пояснили додавання на яблуках. Навіщо інтеграл може знадобитися?

Припустимо, потрібно побудувати храм комусь із давньогрецьких богів, такий щоб місце в ньому вистачило всім, дах був прямокутним, а колони круглими, адже так красивіше (а ще міцніше).

Тиск колони на фундамент легко порахувати, якщо вона квадратного перерізу, ділимо силу на площу і вуаля. А якщо колона круглого перерізу? Яка площа кола?

Можна звичайно, не напружуватися, і замінити коло еквівалентним квадратом (квадратура кола), але яким? Про всяк випадок більше, щоб напевно нічого не розвалилося.

Але це не наш метод, особливо, якщо ні нескінченної кількості робітників, ні нескінченної кількості мармуру насправді немає і взяти ніде, а стратити за неефективне використання бюджету ніхто не забороняє.

Прийом з еквівалентом площі насправді простий, використовувався древніми людьми. Дуже-дуже давні греки нічого не знали про інтегрування, а Архімед ще не народився, проте, щоб розрахувати площу кола, в нього викладалися камінці. Коли коло заповнювалося, камінці збиралися та розкладалися у вигляді квадрата. Чим менше каміння тим… Нічого не нагадує?

Ще приклади з життя

Звичайно, у фізиці інтеграл “беруть” постійно. Замість Х може бути час, і тоді ми будемо мати справу з функцією часу, такою, наприклад, як швидкість. Прискорення — це швидкість зміни швидкості. Швидкість це швидкість зміни координат. Пробігшись від прискорення до швидкості, ми вже двічі використовували інтеграл.

У зворотний бік: перша похідна шляху, це швидкість, друга похідна – прискорення. Якщо прискорення дорівнює нулю, то швидкість не змінювалася.

Інтегрування та диференціювання, така ж “парочка” як і множення та ділення, підсумовування та віднімання, тільки не з цифрами, а з функціями. Це взаємно-зворотні операції. У випадку похідної ми не “складаємо”, а “віднімаємо”.

Якщо проінтегрувавши функцію зміни швидкості (прискорення) отримаємо константу (число, наприклад, 60, а не формулу y=2x), значить, швидкість не змінювалася з часом, прискорення не було.

Якщо, взявши перворідну (диференціал) функції швидкості в часі, отримаємо нуль — швидкість не змінювалася, прискорення дорівнює нулю.

Тобто, маючи у своєму розпорядженні якусь функцію (залежність чогось від чогось), ми можемо її диференціювати або інтегрувати. Так само ніби множили або, віднімали і складали звичайні числа.

Наприклад, у нас є функція зміни координат від часу. У реальному світі ми вийшли на пробіжку. Біг наш спортсмен 30 хвилин, перші 10 хвилин дуже швидко, другі 10 хвилин уже з задишкою, ну а останні 10 пройшов пішки.

Очевидно, що координати бігуна на початку і в кінці різні (він же не стояв на місці). Якщо координати змінювалися, швидкість не дорівнювала нулю.

Швидкість не була однаковою, а змінювалася в залежності від часу (більше часу, більша втома, менша швидкість).

Отже, у нас є функція зміни координат. Перша похідна дасть нам нову функцію – зміни координат, друга похідна – функцію прискорення. І перша і друга функції залежать від однієї і тієї ж змінної — часу.

Ще один приклад, обчислення маси. Маса, це множення щільності на об’єм. Якщо щільність та об’єм однакові (це склянка води) жодних проблем немає. А якщо щільність змінюється (та сама склянка, тільки з коктейлем у кілька шарів)? У такому випадку потрібно знати закон (залежність з якою змінюватиметься щільність рідини у склянці).

Нехай це буде 2x 2 . Застосовуємо магію інтегрування — (2x 3 )/3. Тепер залишилося підставити замість Х потрібні значення глибини (від нуля на поверхні до значення на дні склянки) та отримаємо масу неоднорідної (!) рідини без її зважування.

Якщо вам такі приклади не близькі, то уявіть собі, що взяли кредит під складний відсоток. Тоді ваш борг зростатиме не лінійно. І ви інтегруватимете…

Якщо потрібно дізнатися яку роботу потрібно витратити на переміщення предмета не по прямій, а якщо потрібно розрахувати кращу ціну, знаючи залежність попиту від пропозиції, а якщо потрібно порахувати за який час робітники викопають яму, якщо це не роботи, а живі люди, які втомлюються з часом…

Якщо подивитися навколо, не знайдеться в реальному світі ні ідеальних фігур, ні рівних графіків, ні рівномірного руху без прискорення, ні лінійних залежностей у поведінці людини “розумної”.

Всі ці прості штуки з науки, просто окремі випадки. Отже, у реальному світі інтеграл корисніший, ніж здається.

Звичайно, криві складніші за прямі і саме тому всю свою історію люди спрощували собі життя: ділили поле прямими, на квадрати та прямокутники за допомогою натягнутої мотузки. Розраховували середню швидкість, а не миттєву в кожній точці маршруту, вважали, що тіло, кинуте під кутом до горизонту, летить параболою, а не балістичною кривою… Але, просто — не означає точно.

Говорячи простою мовою, інтегрування — це такий же інструмент, як і додавання, в ньому немає ніяких особливих таємниць і складнощів.

Крім однієї — уявити собі нескінченність складніше, ніж натуральні числа, які мають наочні уявлення в природі. Але справляємось ми якось із уявленнями таких абстракцій як “нуль” чи “негативне число”. З матаналізом просто потрібно трохи більше уяви.

Ну а якщо вже зовсім просто, для гуманітаріїв, то похідна винограду це вино. Інтеграл вина – це виноград.