Додекаэдр – это. Определение, формулы, свойства и история

Додекаэдр – это объемная геометрическая фигура, которая имеет 12 граней. Это основная его характеристика, поскольку количество вершин и число ребер могут изменяться. Рассмотрим в статье свойства этой фигуры, ее использование в настоящее время, а также некоторые интересные исторические факты, связанные с ней.

Общие понятия о фигуре

Додекаэдр – это слово взято из языка древних греков, которое буквально означает “фигура с 12-ю гранями”. Его грани представляют собой многоугольники. Учитывая свойства пространства, а также определение додекаэдра, можно сказать, что его многоугольники могут иметь 11 сторон и меньше. Если грани фигуры образованы правильными пентагонами (многоугольник, имеющий 5 сторон и 5 вершин), то такой додекаэдр называется правильным, он входит в число 5-ти платоновских объектов.

Геометрические свойства правильного додекаэдра

Рассмотрев вопрос о том, что такое додекаэдр, можно перейти к характеристике основных свойств правильной объемной фигуры, то есть образованной одинаковыми пятиугольниками.

Поскольку рассматриваемая фигура является объемной, выпуклой и состоит из многоугольников (пентагонов), то для нее справедливо правило Эйлера, которое устанавливает однозначную зависимость между числом граней, ребер и вершин. Оно записывается в виде: Г + В = Р + 2, где Г – количество граней, В – вершин, Р – ребер. Зная, что правильный додекаэдр – это двенадцатигранник, число вершин которого составляет 20, то, используя правило Эйлера, получаем: Р = Г + В – 2 = 30 ребер. Углы между соседними гранями этой платоновской фигуры являются одинаковыми, они равны 116,57 o .

Математические формулы для правильного додекаэдра

Ниже приведем основные формулы додекаэдра, который состоит из правильных пятиугольников. Эти формулы позволяют вычислить площадь его поверхности, объем, а также определить радиусы сфер, которые можно вписать в фигуру или описать вокруг нее:

• Площадь поверхности додекаэдра, которая представляет собой произведение 12-ти площадей пятиугольников со стороной “a”, выражается следующей формулой: S = 3*√(25 + 10*√5)*a 2 . Для приблизительных расчетов можно пользоваться выражением: S = 20,65*a 2 .
• Объем правильного додекаэдра, как и его суммарная площадь граней, однозначно определяется из знания стороны пятиугольника. Эта величина выражается следующей формулой: V = 1/4*(15 + 7*√5)*a 3 , что приблизительно равно: V = 7,66*a 3 .
• Радиус вписанной окружности, которая касается внутренней стороны граней фигуры в их центре, определяется так: R₁ = 1/4*a*√((50 + 22*√5)/5), или приблизительно R₁ = 1,11*a.
• Описанную окружность проводят через 20 вершин правильного додекаэдра. Ее радиус определяется формулой: R₂ = √6/4*a*√(3 + √5), или приблизительно R₂ = 1,40*a. Приведенные цифры говорят, что радиус внутренней сферы, вписанной в додекаэдр, составляет 79 % от такового для описанной сферы.

Симметрия правильного додекаэдра

Как видно из рисунка выше, додекаэдр – это достаточно симметричная фигура. Для описания этих свойств в кристаллографии вводят понятия об элементах симметрии, главными из которых являются поворотные оси и плоскости отражения.

Идея использования этих элементов проста: если установить ось внутри рассматриваемого кристалла, а затем повернуть его вокруг этой оси на некоторый угол, то кристалл полностью совпадет сам с собой. То же самое относится к плоскости, только операцией симметрии здесь является не поворот фигуры, а ее отражение.

Для додекаэдра характерны следующие элементы симметрии:

• 6 осей пятого порядка (то есть поворот фигуры осуществляется на угол 360/5 = 72 o ), которые проходят через центры расположенных напротив друг друга пятиугольников;
• 15 осей второго порядка (симметричный угол поворота равен 360/2 = 180 o ), которые соединяют середины противоположных ребер октаэдра;
• 15 плоскостей отражения, проходящих через расположенные напротив ребра фигуры;
• 10 осей третьего порядка (операция симметрии осуществляется при повороте на угол 360/3 = 120 o ), которые проходят через противоположные вершины додекаэдра.

Современное использование додекаэдра

В настоящее время геометрические объекты в форме додекаэдра находят применение в некоторых сферах деятельности человека:

• Игральные кости для настольных игр. Так как додекаэдр – это платоновская фигура, обладающая высокой симметрией, то объекты этой формы можно использовать в играх, где продолжение событий имеет вероятностный характер. Игральные кости в своем большинстве изготавливают кубической формы, поскольку их сделать проще всего, однако современные игры становятся все сложнее и разнообразнее, а значит, требуют костей с большим количеством возможностей. Кости в форме додекаэдра применяются в ролевой настольной игре Dungeons and Dragons. Особенностью этих костей является то, что сумма цифр, расположенных на противоположных гранях, всегда равна 13.

• Источники звука. Современные звуковые колонки часто изготавливают в форме додекаэдра, поскольку они распространяют звук во всех направлениях и защищают его от окружающего шума.

Историческая справка

Как выше было сказано, додекаэдр – это одно из пяти платоновых тел, которые характеризуются тем, что образованы одинаковыми правильными многогранниками. Остальными четырьмя платоновыми телами являются тетраэдр, октаэдр, куб и икосаэдр.

Упоминания о додекаэдре относятся еще к вавилонской цивилизации. Однако первое подробное изучение его геометрических свойств сделали древнегреческие философы. Так, Пифагор в качестве эмблемы своей школы использовал пятиконечную звезду, построенную на вершинах пентагона (грани додекаэдра).

Платон подробно охарактеризовал правильные объемные фигуры. Философ считал, что они представляют главные стихии: тетраэдр – это огонь; куб – земля; октаэдр – воздух; икосаэдр – вода. Поскольку додекаэдру не досталась никакая стихия, то Платон предположил, что он описывает развитие всей Вселенной.

Мысли Платона многие могут посчитать примитивными и псевдонаучными, однако вот что любопытно: современные исследования наблюдаемой Вселенной показывают, что приходящее на Землю космическое излучение обладает анизотропией (зависимостью от направления), и симметрия этой анизотропии хорошо согласуется с геометрическими свойствами додекаэдра.

Додекаэдр и сакральная геометрия

Священная геометрия представляет собой совокупность псевдонаучных (религиозных) знаний, которые приписывают различным геометрическим фигурам и символам определенное сакральное значение.

Значение многогранника додекаэдра в сакральной геометрии заключается в совершенности его формы, которую наделяют способностью приводить окружающие тела в гармонию и равномерно распределять энергию между ними. Додекаэдр считается идеальной фигурой для практики медитации, поскольку он играет роль проводника сознания в иную реальность. Ему приписывают способность снимать стресс у человека, восстанавливать память, улучшать внимание и концентрационные способности.

Римский додекаэдр

В середине XVIII века в результате некоторых археологических раскопок на территории Европы был найден странный предмет: он имел форму додекаэдра, сделанного из бронзы, его размеры составляли несколько сантиметров, и он был пустым внутри. Однако любопытно следующее: в каждой его грани было сделано отверстие, причем диаметр всех отверстий был различным. В настоящее время найдено более 100 таких объектов в результате раскопок во Франции, Италии, Германии и других стран Европы. Все эти предметы датируются II-III веком нашей эры и относятся к эпохе господства Римской Империи.

Как римляне использовали эти предметы – не известно, поскольку не найдено ни одного письменного источника, который бы содержал точное объяснение их назначения. Лишь в некоторых трудах Плутарха можно встретить упоминание, что эти объекты служили для понимания характеристик 12-ти знаков Зодиака. Современное объяснение тайны римских додекаэдров имеет несколько версий:

• предметы использовались в качестве подсвечников (внутри них найдены остатки воска);
• они применялись как игральные кости;
• додекаэдры могли служить календарем, который указывал на время посадки сельскохозяйственных культур;
• могли они применяться в качестве основы для крепления римского военного штандарта.

Существуют и другие версии использования римских додекаэдров, тем не менее ни одна из них не имеет точных доказательств. Известно лишь одно: древние римляне высоко ценили эти предметы, поскольку в раскопках они часто обнаруживаются в тайниках вместе с золотом и драгоценностями.

Додекаедр – це… Визначення, формули, властивості та історія

Додекаедр – це об’ємна геометрична фігура, яка має 12 граней. Це основна його характеристика, оскільки кількість вершин і кількість ребер можуть бути змінені. Розглянемо у статті властивості цієї фігури, її використання в даний час, а також деякі цікаві історичні факти, пов’язані з нею.

Загальні поняття про фігуру

Додекаедр – це слово взято з мови стародавніх греків, що буквально означає “фігура з 12-ю гранями”. Його грані являють собою багатокутники. Враховуючи властивості простору, а також визначення додекаедр, можна сказати, що його багатокутники можуть мати 11 сторін і менше. Якщо межі фігури утворені правильними пентагонами (багатокутник, має 5 сторін і 5 вершин), то такий додекаедр називається правильним, він входить в число 5-ти платонівських об’єктів.

Геометричні властивості правильного додекаедр

Розглянувши питання про те, що таке додекаедр, можна перейти до характеристики основних властивостей правильної об’ємної фігури, тобто утвореної однаковими пятиугольниками.

Оскільки розглянута фігура є об’ємною, опуклою і складається з багатокутників (пентагонов), то для неї справедливо правило Ейлера, яке встановлює однозначну залежність між числом граней, ребер і вершин. Воно записується у вигляді: Р + В = Р + 2, де Р – кількість граней, вершин, Р – ребер. Знаючи, що правильний додекаедр – це дванадцятигранник, число вершин якого складає 20, то, використовуючи правило Ейлера, отримуємо: Р = Р + У – 2 = 30 ребер. Кути між сусідніми гранями цієї платонівської фігури є однаковими, вони рівні 116,57 o.

Застосування азоту, де і як використовується азот

Широке застосування азоту в численних сферах сучасного виробництва обумовлено притаманними йому властивостями інертного газу:

• пожежна і вибухова безпека;
• перешкоджає корозії, окислення і гниття;
• низька теплоємність;
• не токсичний.

Як використовують азот в нафтогазовому комплексі, чорної і кольорової металургії, гірничо-видобувної та хімічної промисловості?

1. По-перше, для продувки і очищення систем трубопроводів, тому що азот відмінно витісняє кисень.
2. По-друге, для пожежогасіння в умовах низьких температур Крайньої Півночі, а також у вугільних шахтах, тому що неможливо ефективно використовувати інші протипожежні засоби.
3. По-третє, для створення інертних середовищ при коксохімічному виробництві, загартуванню, відпалі, лазерного різання металу і т.д.

Де використовують азот в сфері виробництва товарів народного споживання?

1. У виробництві харчових продуктів, консервів, лікарських засобів застосування азоту допомагає максимально виключити хімічні консервуючі коштів, але при цьому значно збільшити терміни придатності продукції, зі збереженням усіх її необхідних властивостей.
2. В автомобільній промисловості використання азоту для наповнення шин дозволяє продовжити термін їх експлуатації, значно знижуючи її корозію.
3. У сільському господарстві азотні добрива дозволяють значно підвищити врожайність будь-яких культур.

Застосування азоту в складі конкретних виробничих комплексів пов’язане з основними технологіями його отримання:

• адсорбційний генератор азоту – працює на технології поглинання молекулярними ситами певних речовин і використовується у виробництві, де є потреба у азот чистотою понад 99,95% і є оптимальним для харчового, фармацевтичного, хімічного виробництва різних масштабів;
• мембранний генератор азоту – технологія отримання азоту до 99,5% чистоти за допомогою поділу газових середовищ за допомогою половолоконной мембран – ефективний для використання в складі систем очищення трубопроводів і пожежогасіння;
• кріогенний генератор азоту – технологія отримання азоту понад 99,95% чистоти за допомогою методом низькотемпературної ректифікації – завдяки значним обсягом виробленого азоту використовується в великомасштабних виробничих комплексах нафтогазової, гірничодобувної та металургійної промисловості.

Схожі статті