ГДЗ Математика 5 клас Мерзляк А Г Вправи 633 – 659 § 22 Прямокутний паралелепіпед, піраміда
1 3 яких фігур складається поверхня прямокутного паралелепіпеда? Поверхня прямокутного паралелепіпеда складається з прямокутників.
2 Скільки прямокутний паралелепіпед має граней? вершин? ребер?. Прямокутний паралелепіпед має 6 граней. 8 вершин і 12 ребер.
3. Які є назви вимірів прямокутного паралелепіпеда? Ширина, довжина, висота.
4. Яку фігуру називають кубом? Прямокутний паралелепіпед, у якого всі виміри рівні, називають кубом.
5. З яких фігур складається поверхня куба? Поверхня куба складається з квадратів.
Розв’язуємо усно
1) 13 • 4 • 25 = 13 • (4 • 25) = 13 • 100 = 1300
2) 4 • 5 • 78 • 5 = (4 • 5 • 5) • 78 = 100 • 78 = 7800
3) 125 • 943 • 8 = 25 • 5 • 943 • 4 • 2 = (25 • 4) • (5 • 2) • 943 = 100 • 10 • 943 = 943000
Завдання 2 Спростіть вираз.
1) 3а • 16b = (3 • 16) • аb = 48аb
2) 4m • 9n • 5k = (4 • 5 • 9) • mnk = 180mnk
3) 7а • 2b • 50с • 8d = (7 • 8) • (2 • 50) • аbсd = 56 • 100 • аbсd = 5600аbсd
Завдання 3 Розкрийте дужки.
2) (3 – b) • 5 = 3 • 5 – b • 5 = 15 – 5b
3) 6m (7n + 8р) = 6 • 7 • mn + 6 • 8 • mр = 42mn + 48mр
Завдання 4 Знайдіть периметр прямокутника, площа якого дорівнює 28 см 2 , а одна з його сторін — 7 см.
1) 28 : 7 = 4 (см) – друга сторона.
2) Р = (7 см + 4 см) • 2 = 22 см – периметр прямокутника.
Відповідь: периметр прямокутника дорівнює 22 см.
Завдання 5 У магазині розклали 6 ц яблук по ящиках так, що в кожному ящику міститься по 12 кг яблук. Скільки ящиків заповнили яблуками?
600 : 12 = 50 (ящ.) – ящиків заповнили яблуками.
Відповідь: яблуками заповнили 50 ящиків.
Завдання 6 У скільки разів площа квадрата зі стороною 6 см більша за площу квадрата зі стороною 2 см?
1) 6 • 6 = 36 (см 2 ) – площа квадрата зі стороною 6 см.
2) 2 • 2 = 4 (см 2 ) – площа квадрата зі стороною 2 см.
3) 36 : 4 = 9 (разів) – у стільки разів більша площа квадрата зі стороною 6 см
Відповідь: площа квадрата зі стороною 6 см у 9 разів більша, ніж площа квадрата зі стороною 2 см.
Вправа 633° На рисунку 178 зображено прямокутний паралелепіпед MNKPEFST. Назвіть:
1) ребра, які є сторонами грані EFST; EF, FS, ST, TE
2) грані, яким належить вершина K; PTSK, MNKP, NFSK
3) ребра, які дорівнюють ребру NK; MP, ET, FS
4) грані, які мають спільне ребро ME; MEFN, METP
5) грань, яка дорівнює грані PTSK. MEFN
Вправа 634° На грані куба сидить сонечко (рис. 179). Назвіть грань куба, на якій воно сидить, якщо ви:
1) бачите сонечко; a) MNKP, б) AMPD
2) не бачите його. а) BNKC, б) AMNB
Вправа 635° На рисунку 178 виміри прямокутного паралелепіпеда MNKPEFST дорівнюють 9 см, 5 см і 6 см. Обчислили:
1) 9 • 5 = 45 см 2 – площа грані MNKP.
2) 9 • 6 = 54 см 2 – площа грані NFSK .
3) (6 см • 5 см) • 2 + (9 см • 5 см) • 2 + (9 см • 6 см) • 2 = 60 см 2 + 90 см 2 + 108 см 2 = 258 см 2 – площа поверхні прямокутного паралелепіпеда.
4) 6 см • 4 + 9 см • 4 + 5 см • 4 = (6 см + 9 см + 5 см) • 4 = 80 см – сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда.
Вправа 636° Знайдіть суму довжин усіх ребер і площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 7 см, 10 см і 11 см.
1) (10 см + 7 см + 11 см) • 4 = 28 см • 4 = 112 см – сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда.
2) (7 м • 10 м) • 2 + (7 м • 11 м) • 2 + (10 м • 11 м) • 2 =
= (70 м 2 + 77 м 2 + 110 м 2 ) • 2 = 257 м 2 • 2 = 514 м 2 – площа поверхні прямокутного паралелепіпеда.
Відповідь: площа поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює 514 м 2 .
Вправа 637° (Домашня практична робота) Знайдіть удома предмет, який має форму прямокутного паралелепіпеда. Виконайте потрібні вимірювання та обчисліть площу його поверхні. В иміри шафи-пеналу дорівнюють 2 м, 1 м і 4 дм
(20 дм • 10 дм) • 2 + (20 дм • 4 дм) • 2 + (10 дм • 4 дм) • 2 =
= (200 дм 2 + 80 дм 2 + 40 дм 2 ) • 2 = 320 дм 2 • 2 = 640 дм 2 – площа поверхні прямокутного паралелепіпеда.
Відповідь: площа поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює 640 дм 2 .
Вправа 638° Площа грані куба дорівнює 9 см 2 . Чому дорівнює площа поверхні куба?
У куба всі шість граней рівні.
9 • 6 = 54 см 2 – площа поверхні куба.
Відповідь: площа поверхні куба дорівнює 54 см 2 .
Вправа 639° Обчисліть площу поверхні та суму довжин усіх ребер куба, ребро якого дорівнює 5 см.
У куба всі дванадцять ребер рівні і всі шість граней рівні.
1) 5 • 12 = 60 (см) – сума довжин усіх ребер куба.
2) 5 • 5 = 25 (см 2 ) – площа одної грані.
3) 25 • 6 = 150 (см 2 ) – площа поверхні куба.
Відповідь: сума довжин усіх граней куба дорівнює 60 см, площа поверхні – 150 см 2 .
Вправа 640° Знайдіть суму довжин усіх ребер і площу поверхні куба, ребро якого дорівнює 7 см.
У куба всі дванадцять ребер рівні і всі шість граней рівні.
1) 7 • 12 = 84 (см) – сума довжин усіх ребер куба.
2) 7 • 7 = 49 (см 2 ) – площа одної грані.
3) 49 • 6 = 294 (см 2 ) – площа поверхні куба.
Відповідь: сума довжин усіх граней куба дорівнює 84 см, площа поверхні – 294 см 2 .
Вправа 641° На рисунку 180 зображено піраміду МАВС. Укажіть:
5) ребра основи піраміди.
Вправа 642° На рисунку 181 зображено піраміду SABCD. Укажіть:
Вправа 643 На рисунку 182 зображено розгортку прямокутного паралелепіпеда.
1) Зі скількох прямокутників складається розгортка?
2) Скільки пар рівних прямокутників містить розгортка?
3) Яка площа цієї розгортки, якщо виміри паралелепіпеда дорівнюють 10 см, 7 см і 3 см?
2) 3 пари рівних прямокутників.
3) (10 см • 7 см) • 2 + (7 см • 3 см) • 2 + (10 см • 3 см) • 2 =
= 140 см 2 + 42 см 2 + 60 см 2 = 242 см 2 – площа розгортки.
Вправа 644 Обчисліть площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, розгортку якого зображено на рисунку
(6 см • 4 см) • 2 + (6 см • 2 см) • 2 + (2 см • 4 см) • 2 =
= 48 см 2 + 24 см 2 + 16 см 2 = 88 см 2 – площа поверхні розгортки прямокутного паралелепіпеда.
Відповідь: площа поверхні розгортки 88 см 2 .
Вправа 645 Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 28 см. Знайдіть суму довжин трьох його ребер, що мають спільну вершину.
Прямокутний паралелепіпед має 4 пари рівних ребер, тому
28 : 4 = 7 (см) – сума вимірів трьох ребер, що мають спільну вершину.
Відповідь: сума довжин трьох ребер, що виходять з одної вершини, дорівнює 7 см.
Вправа 646 Сума довжин усіх ребер куба дорівнює 72 см. Знайдіть довжину ребра куба .
Куб має 12 рівних ребер, тому
72 : 12 = 6 (см) – довжина кожного ребра.
Відповідь: довжина ребра куба дорівнює 6 см.
Вправа 647 Піраміда має 1001 грань. Скільки:
1) сторін має основа піраміди; 1001
2) ребер має ця піраміда? 2002
Вправа 648 Основою піраміди є двадцятикутник. Знайдіть кількість граней піраміди та кількість її ребер.
1) 20 + 1 = 21 (шт.) – граней має двадцятикутна піраміда .
2) 20 • 2 = 40 (шт.) – ребер має двадцятикутна піраміда.
Відповідь: двадцятикутна піраміда має 21 грань і 40 ребер.
Вправа 649 Прямокутний паралелепіпед і куб мають рівні площі поверхні. Ребро куба дорівнює 8 см, а два виміри прямокутного паралелепіпеда — 4 см і 12 см. Знайдіть третій вимір паралелепіпеда.
1) 8 • 8 • 6 = 384 (см 2 ) – площа поверхні куба або прямокутного паралелепіпеда.
2) 12 • 4 • 2 = 96 (см 2 ) – площа поверхні двох граней прямокутного паралелепіпеда.
3) 384 – 96 = 288 (см 2 ) – площа поверхні решта граней прямокутного паралелепіпеда.
4) Нехай х невідомий вимір. Складаємо рівняння.
Відповідь: невідомий вимір паралелепіпеда дорівнює 9 см.
Вправа 650 Прямокутний паралелепіпед і куб мають рівні площі поверхні. Довжина паралелепіпеда дорівнює 18 м, що у 2 рази більше, ніж його ширина, і на 8 м більше, ніж його висота. Знайдіть ребро куба.
1) 18 : 2 = 9 (м) – ширина прямокутного паралелепіпеда.
2) 18 – 8 = 10 (м) – висота прямокутного паралелепіпеда.
3) (18 м • 9 м) • 2 + (18 м • 10 м) • 2 + (9 м • 10 м) • 2 = 324 м 2 + 360 м 2 + 180 м 2 = 864 м 2 – площа поверхні паралелепіпеда або куба.
4) 864 : 6 = 144 (см) – площа однієї поверхні куба.
5) Оскільки 144 = 12 • 12, тому 12 (м) – сторона квадрата або шукане ребро куба.
Відповідь: ребро куба дорівнює 12 м.
Вправа 651 Брусок, що має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 4 см, 5 см і 6 см, пофарбували з усіх сторін і розрізали на кубики з ребром 1 см. Скільки утворилося кубиків, у яких пофарбовано: 1) три грані; 2) дві грані; 3) одну грань?
1) пофарбовані три грані будуть мати 8 кубиків.
Пояснення. Кубики при кожній вершині.
2) пофарбовані дві грані будуть мати 36 кубиків.
Пояснення. Дві грані будуть мати кубики при ребрах паралелепіпеда, крім тих, що знаходяться у вершинах паралелепіпеда. Біля ребра 4 см таких кубиків буде 4 – 2 = 2. Біля ребра 5 см таких кубиків буде 5 – 2 = 3. Біля ребра 6 см таких кубиків буде 6 – 2 = 4.
Візьмемо до уваги, однакових граней в паралелепіпеда по 4, тоді (2 + 3 + 4) • 4 = 36 кубиків.
3) пофарбовану грань будуть мати 52 кубики.
Пояснення. Одну пофарбовану грань будуть мати кубики всередині кожної грані паралелепіпеда, що не торкаються його граней. На грані з вимірами 4 см і 5 см кубиків, що не торкаються ребер паралелепіпеда, буде 2 • 3 = 6. На грані з вимірами 4 см і 6 см кубиків, що не торкаються ребер паралелепіпеда буде 2 • 4 = 8. На грані з вимірами 5 см і 6 см кубиків, що не торкаються ребер паралелепіпеда буде 3 • 4 = 12. Усього таких кубиків на гранях 6 + 8 + 12 = 26, а беручи до уваги, що грані попарно рівні, маємо 26 • 2 = 52
Вправи для повторення.
Вправа 653 Швидкість ракети дорівнює 8 км/с. За скільки хвилин вона пролетить 960 км?
S = v : t = 960 : 8 = (800 + 160) : 8 = 100 + 20 = 120 (с) = 2 (хв.) – потрібен час для ракети.
Відповідь: 960 км ракета пролетить за 2 хв.
Вправа 654 Ділення з остачею
З листа картону можна вирізати шість однакових квадратів. Скільки листів картону потрібно для того, щоб вирізати 50 таких квадратів?
1 лист картону – 6 квадратів
х листів картону – 50 квадратів
50 : 6 = 8 (ост. 2) ≈ 9 (л.) – листів картону потрібно.
Відповідь: щоб вирізати 50 таких квадратів, треба 9 листів картону.
Вправа 655 Поїзд вийшов зі станції о 16 год зі швидкістю 54 км/год. О 19 год з цієї ж станції у протилежному напрямі вийшов другий поїзд. О 24 год відстань між поїздами становила 642 км. З якою швидкістю рухався другий поїзд?
1) 24 – 16 = 8 (год) – час у дорозі першого поїзда.
2) 54 • 8 = 432 (км) – відстань проїхав перший поїзд.
3) 642 – 432 = 210 (км) – відстань другого поїзда.
4) 24 – 19 = 5 (год) – час у дорозі другого поїзда.
5) 210 : 5 = 42 (км/год) – швидкість другого поїзда.
Відповідь: швидкість другого поїзда 42 км/год.
Вправа 656 Розв’яжіть рівняння:
Задача від Мудрої Сови
Дерев’яний брусок має форму прямокутного паралелепіпеда. Його ширина дорівнює 20 см, що на 5 см менше від його довжини та в 3 рази менше від його висоти. Скільки лаку потрібно, щоб одним шаром покрити ним усю поверхню цього бруска, якщо на 1 дм 2 витрачається 4 г лаку?
1) 20 + 5 = 25 (см) – довжина прямокутного паралелепіпеда.
2) 20 • 3 = 60 (см) – висота прямокутного паралелепіпеда.
3) (20 см • 25 см) • 2 + (20 см • 60 см) • 2 + (25 см • 60 см) • 2 =
= 1000 см 2 + 2400 см 2 + 3000 см 2 = 6400 см 2 – площа поверхні паралелепіпеда.
6400 см 2 = 64 • 10 см • 10 см = 64 • 1 дм • 1 дм = 64 дм 2
4) 4 • 64 = 256 (г) – грамів лаку потрібно.
Відповідь: 256 грамів лаку потрібно.
Задача 659 Як за допомогою лінійки виміряти діагональ цеглини, маючи ще кілька таких цеглин?
Діагональ цеглини — це діагональ прямокутного паралелепіпеда. Діагональ паралелепіпеда — це відрізок, що сполучає його вершини, які не належать одній грані
1. Які предмети дають уяву про прямокутний паралелепіпед? Форму прямокутного паралелепіпеда мають, наприклад, коробка цукерок, книга, цеглина, коробка сірників, пакувальний ящик, пакет молока, дитячі кубики.
4. Скільки пар протилежних граней має прямокутний паралелепіпед? 3 пари протилежних граней.
5. Яку властивість мають протилежні грані прямокутного паралелепіпеда? Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда рівні.
6. Як називають сторони граней прямокутного паралелепіпеда? Сторони граней прямокутного паралелепіпеда називають ребра.
7. Як називають вершини граней прямокутного паралелепіпеда? Вершини граней називають вершинами прямокутного паралелепіпеда.
8. Скільки вершин має прямокутний паралелепіпед? Прямокутний паралелепіпед має 8 вершин.
9. Скільки ребер має прямокутний паралелепіпед? Прямокутний паралелепіпед має 12 ребер.
10. Яка спільна назва довжин трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що мають спільну вершину? Виміри прямокутного паралелепіпеда.
11. Які назви вимірів прямокутного паралелепіпеда використовують, щоб їх розрізняти? Назви вимірів прямокутного паралелепіпеда: довжина, ширина, висота.
14. 3 яких фігур складається поверхня піраміди? Поверхня піраміди складається з многокутника та трикутників.
15. Яку піраміду називають трикутною? чотирикутною? Трикутною пірамідою називають піраміду, основою якої є трикутник. Чотирикутною пірамідою називають піраміду, основою якої є чотирикутник.
16. Що називають вершиною піраміди? Спільну вершину бічних граней називають вершиною піраміди.
17. Що називають ребрами основи піраміди? Сторони основи піраміди називають ребрами основи піраміди.
18. Що називають бічними ребрами піраміди? Сторони бічних граней піраміди, які не належать основі, називають бічними ребрами піраміди.
Вправа 613.* Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 20 см, що на 5 см більше за його ширину та в 3 рази менше від його довжини. Обчисліть площу поверхні паралелепіпеда.
1) 20 – 5 = 15 (см) – ширина прямокутного паралелепіпеда.
2) 20 • 3 = 60 (см) – довжина прямокутного паралелепіпеда.
3) (20 см • 15 см) • 2 + (20 см • 60 см) • 2 + (15 см • 60 см) • 2 =
= 600 см 2 + 2400 см 2 + 1800 см 2 = 4800 см 2 – площа поверхні паралелепіпеда.
Відповідь: площа поверхні паралелепіпеда 4800 см 2 .
Вправа 607° На рисунку 167 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDMNKP. Назвіть:
1) грані, яким належить вершина С;
2) ребра, що дорівнюють ребру ВС;
4) вершини, що належать нижній грані;
5) грані, що мають спільне ребро AM;
6) грань, що дорівнює грані DPKC.
1) ABCD, DPKC, BNKC
5) AMPD, AMNB
Вправа 636° Знайдіть суму довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 13 см, 16 см, 21 см.
(13 см + 16 см + 21 см) • 4 = 50 см • 4 = 200 см – сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда.
Відповідь: сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 200 см.
Вправа 610° Знайдіть площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 9 м, 24 м, 11 м.
(9 м • 24 м) • 2 + (24 м • 11 м) • 2 + (9 м • 11 м) • 2 = 1158 м 2
Відповідь: площа поверхні прямокутного паралелепіпеда дорівнює 1158 м 2 .
Вправа 624 Розв’яжіть рівняння:
5х + 17 = 2042
5х = 2042 – 17
ГДЗ Математика 5 клас Мерзляк А Г Вправи 660 – 696 § 23 Об’єм прямокутного паралелепіпеда
1. Які властивості має об’єм фігури? Рівні фігури мають рівні об’єми. Об’єм фігури дорівнює сумі об’ємів фігур, з яких вона складається.
2. Наведіть приклади одиниць виміру об’єму. Кубічний міліметр (мм 3 ), кубічний сантиметр (см 3 ), кубічний дециметр (дм 3 ), літр (л), кубічний метр (м 3 ), кубічний кілометр (км 3 ).
3. Що означає виміряти об’єм фігури? Виміряти об’єм фігури — це означає підрахувати, скільки одиничних кубів у ній вміщується.
4. Чому дорівнює об’єм прямокутного паралелепіпеда з вимірами а, Ь і с. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів.
5. За якою формулою обчислюють об’єм куба? V = аЬс, де V — об’єм паралелепіпеда, а, Ь і с — його виміри, виражені в одних і тих самих одиницях.
6. Як обчислити об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо відомо його площу основи та висоту? Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту V = S•h
Розв’язуємо усно
Завдання 1. Ділянку дороги завдовжки 3 км, на якій швидкість автомобіля не має перевищувати 60 км/год, водій проїхав за 3 хв. Чи порушив при цьому водій правила дорожнього руху?
3000 м : 3 хв = 1 000 м/хв = 1 км/хв– швидкість руху автомобіля.
Завдання 2 Скільки потрібно використати кубиків з ребром 1 см, щоб скласти кубик з ребром 2 см?
Куб з вимірами 2 см • 2 см • 2 см буде містити 2 • 2 • 2 = 8 одиничних кубів.
Завдання 3 Скільки сантиметрів дроту необхідно для виготовлення дротяного каркаса прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 3 см, 5 см і 6 см?
3 см • 4 + 5 см • 4 + 6 см • 4 = 56 (см) – довжина дротяного каркаса.
Завдання 4 (Задача-жарт) У двох гаманцях лежать дві монети, причому в одному гаманці монет удвічі більше, ніж у другому. Чи можливе таке? Можливо, коли один гаманець міститься всередині іншого.
Вправа 660°
1) Скільки кубічних сантиметрів міститься в 1 дм 3 ? в 1 м 3 ?
1 дм 3 = 1 дм • 1 дм • 1 дм = 10 см • 10 см • 10 см = 1 000 см 3
1 м 3 = 1 м • 1 м • 1 м = 100 см • 100 см • 100 см = 1 000 000 см 3
2) Скільки кубічних дециметрів міститься в 1 м 3 ?
1 м 3 = 1 м • 1 м • 1 м = 10 дм • 10 дм • 10 дм = 1 000 дм 3
Вправа 661° Які одиниці об’єму доцільно використовувати для вимірювання об’єму:
2) рідини, яку має вживати людина протягом доби; л
Вправа 662° Фігури, зображені на рисунку 188, складено з кубиків, ребра яких дорівнюють 1 см. Знайдіть об’єм кожної фігури.
1 см • 1 см • 1 см = 1 см3 – об’єм одного кубика.
а) 1 см 3 • 4 = 4 см 3 – об’єм першої фігури.
б) 1 см 3 • 6 = 6 см 3 – об’єм другої фігури.
в) 1 см 3 • 12 = 12 см 3 – об’єм третьої фігури.
г) 1 см 3 • 10 = 10 см 3 – об’єм четвертої фігури.
Вправа 663° Фігури, зображені на рисунку 189, складено з кубиків, ребра яких дорівнюють 1 см. Знайдіть об’єм кожної фігури.
Об’єм дорівнює кількості об’ємів кубиків.
1) 1 см 3 • 18 = 18 см 3 – об’єм першої фігури.
2) 1 см 3 • 35 = 35 см 3 – об’єм другої фігури.
Вправа 664° Обчисліть об’єм прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 12 м, 15 м і 6 м .
V = 12 м • 15 м • 6 м = 1080 м 3 – об’єм прямокутного паралелепіпеда.
Відповідь: об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 1080 м 3 .
Вправа 665° Знайдіть об’єм куба, ребро якого дорівнює 6 см.
V = 63 см 3 = 216 см 3 – об’єм куба з ребром 6 см.
Відповідь: об’єм куба з ребром 6 см дорівнює 216 см 3 .
Вправа 666° Чому дорівнює об’єм прямокутного паралелепіпеда з вимірами 10 дм, 8 дм і 4 дм?
V = 10 дм • 8 дм • 4 дм = 320 дм 3 – об’єм прямокутного паралелепіпеда.
Відповідь: об’єм прямокутного паралелепіпеда 320 дм 3 .
Вправа 667° Ящик з якими вимірами є більш містким — із вимірами 15 см, 20 см і 30 см чи з вимірами 45 см, 10 см, 18 см?
1) V1 = 15 см • 20 см • 30 см = 9 000 см 3 – об’єм ящика з вимірами 15 см, 20 см і 30 см.
2) V 2 = 45 см • 10 см • 18 см = 8 100 см 3 – об’єм ящика з вимірами 45 см, 10 см і 18 см.
Відповідь: більший ящик з вимірами 15 см, 20 см і 30 см.
Вправа 668° (Домашня практична робота) Знайдіть вдома предмет, який має форму прямокутного паралелепіпеда. Виконайте потрібні вимірювання та обчисліть його об’єм. Шафа-пенал із вимірами 6 дм, 5 дм і 20 дм
V = 6 дм • 5 дм • 20 дм = 600 дм 3 – об’єм шафи-пенала з вимірами 6 дм, 5 дм і 20 дм.
Вправа 669° Обчисліть об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо S = 15 см 2 , h = 6 см, де S — площа основи паралелепіпеда, h — його висота.
V = Sh = 15 cм 2 • 6 cм = 90 cм 3 – об’єм прямокутного паралелепіпеда.
Вправа 670 Виразіть:
1) у кубічних міліметрах: 7 см 3 ; 12 см 3 243 мм 3 ; 54 см 3 4 мм 3 ; 1 дм 3 20 мм 3 ; 18 дм 3 172 см 3 ;
7 см 3 = 7 • 10 мм • 10 мм • 10 мм = 7000 мм 3
12 см 3 243 мм 3 = 12 • 10 мм • 10 мм • 10 мм + 243 мм 3 = 12000 мм 3 + 243 мм 3 =
54 см 3 4 мм 3 = 54 000 мм 3 + 4 мм 3 = 54 004 мм 3
1 дм 3 20 мм 3 = 1 000 000 мм 3 + 20 мм 3 = 1 000 020 мм 3
18 дм 3 172 см 3 = 18 000 000 мм 3 + 172 000 мм 3 = 18 172 000 мм 3
2) у кубічних дециметрах: 4 м 3 ; 28 м 3 2 дм 3 ; 5 430 000 см 3 .
4 м 3 = 4 • 10 дм • 10 дм • 10 дм = 4000 дм 3
28 м 3 2 дм 3 = 28 • 10 дм • 10 дм • 10 дм + 2 дм 3 = 28 000 дм 3 + 2 дм 3 = 28 002 дм 3
5 430 000 см 3 = 5430 • 1 дм • 1 дм • 1 дм = 5430 дм 3
Вправа 671 Виразіть у кубічних сантиметрах: 62 дм 3 ; 520 000 мм 3 ; 78 дм 3 325 см 3 ; 56 дм 3 14 см 3 .
62 дм 3 = 62 • 10 см • 10 см • 10 см = 62 000 см 3
520 000 мм 3 = 520 • 1 см • 1 см • 1 см = 520 см 3
78 дм 3 325 см 3 = 78 000 см 3 + 325 см 3 = 78 325 см 3
56 дм 3 14 см 3 = 56 000 см 3 + 14 см 3 = 56 014 см 3
Вправа 672 Ширина прямокутного паралелепіпеда дорівнює 15 дм, довжина на 3 дм більша за ширину, а висота у 3 рази менша від довжини. Знайдіть об’єм даного паралелепіпеда.
1) 15 + 3 = 18 (дм) – довжина прямокутного паралелепіпеда.
2) 18 : 3 = 6 (дм) – висота прямокутного паралелепіпеда.
3) V = 18 дм • 15 дм • 6 дм = 1620 дм 3 – об’єм даного паралелепіпеда.
Відповідь: об’єм даного паралелепіпеда 1620 дм 3 .
Вправа 673 Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 20 см, що на 4 см менше від його довжини і в 5 разів більше за його ширину. Обчисліть об’єм даного паралелепіпеда.
1) 20 + 4 = 24 (см) – довжина прямокутного паралелепіпеда.
2) 20 : 5 = 4 (см) – ширина прямокутного паралелепіпеда.
3) V = 24 см • 4 см • 20 см = 1920 см 3 – об’єм прямокутного паралелепіпеда.
Відповідь: об’єм прямокутного паралелепіпеда 1920 см 3 .
Вправа 674 Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 560 см 3 , довжина — 14 см, ширина — 8 см. Знайдіть висоту даного паралелепіпеда.
1) S = а • b = 14 см • 8 см = 112 см 2 – площа основи паралелепіпеда.
2) h = V : S = 560 см 3 : 112 см 2 = 5 см – висота даного паралелепіпеда.
Відповідь: висота даного паралелепіпеда 5 см.
Вправа 675 Довжина прямокутного паралелепіпеда дорівнює 18 см, висота — 15 см, а об’єм — 3240 см 3 . Знайдіть ширину даного паралелепіпеда.
b = V : а : h = 3240 см 3 : 18 см : 15 см = 12 см – ширина даного паралелепіпеда.
Відповідь: ширина даного паралелепіпеда 12 см.
Вправа 676 Об’єм кімнати, яка має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 144 м 3 , а висота — 4 м. Знайдіть площу підлоги кімнати.
S = V : h = 144 м 3 : 4 м = 36 м 2 – площа підлоги кімнати.
Відповідь: площа підлоги кімнати 36 м 2 .
Вправа 677 Площа підлоги спортивного залу, який має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 192 м 2 , а його об’єм — 960 м 3 . Знайдіть висоту спортивного залу.
h = V : S = 960 м 3 : 192 м 2 = 5 м – висота спортивного залу.
Відповідь: висота спортивного залу 5м.
Вправа 678 Знайдіть об’єм фігури, зображеної на рисунку 190 (розміри дано в сантиметрах).
Загальний об’єм знайдемо через різницю таких об’ємів.
1) V1 = 30 см • 20 см • 25 см = 15000 см 3
2) V2 = 15 см • 20 см • 5 см = 1500 см 3
3) V = V1 – V2 = 15000 см 3 – 1500 см 3 = 13500 см 3 .
Відповідь: об’єм фігури 13500 см 3 .
Вправа 679 Знайдіть об’єм фігури, зображеної на рисунку 191 (розміри дано в сантиметрах).
Загальний об’єм знайдемо через суму таких об’ємів.
1) V1 = 12 см • (8 см + 8 см) • 14 см = 2688 см 3
2) V2 = 8 см • 8 см • (14 см + 8 см) = 1408 см 3
3) V3 = 15 см • (8 см + 8 см) • 14 см = 3360 см 3
4) V = V1 + V2 + V3 = 2688 см 3 + 1408 см 3 + 3360 см 3 = 7456 см 3 .
Відповідь: об’єм фігури 7456 см 3 .
Вправа 680 Ребро куба, виготовленого з цинку, дорівнює 4 см. Знайдіть масу куба, якщо маса 1 см 3 цинку становить 7 г.
1) 4 3 = 64 (см 3 ) – об’єм куба.
2) 7 • 64 = 448 (г) – маса куба.
Відповідь: маса куба 448 г.
Вправа 682 Резервуар для води має форму прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 6 м, 4 м і 5 м. Скільки тонн води вміщує цей резервуар, якщо маса 1 л води становить 1 кг?
V = 6 • 4 • 5 = 120 (м 3 ) – об’єм резервуару.
Для води: 120 м 3 = 120 000 дм 3 = 120 000 л = 120 000 кг = 120 т.
Вправа 683 Скільки літрів води можна налити в резервуар, який має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 1 м 40 см, 50 см і 1 м 20 см?
1 м 40 см = 14 дм, 50 см = 5 дм, 1 м 20 см = 12 дм
V = 14 • 5 • 12 = 840 (дм 3 ) – об’єм резервуару.
Вправа 684 Куб і прямокутний паралелепіпед мають рівні об’єми. Знайдіть площу поверхні куба, якщо довжина прямокутного паралелепіпеда дорівнює 12 см, що у 2 рази більше за ширину і в 4 рази більше за висоту паралелепіпеда.
1) 12 : 2 = 6 (см) – ширина паралелепіпеда.
2) 12 : 4 = 3 (см) – висота паралелепіпеда.
3) V = 12 см • 6 см • 3 см = 216 см 3 – об’єм паралелепіпеда або куба.
Об’єми рівні, тому V = 216 см 3 = 6 см • 6 см • 6 см
4) оскільки ребро куба дорівнює 6 см, маємо
6 • 6 = 36 (см 2 ) – площа грані куба.
5) оскільки куб має 6 граней, маємо
36 • 6 = 216 см 2 – площа поверхні куба.
Відповідь: площа поверхні куба 216 см 2 .
Вправа 685 Прямокутний паралелепіпед і куб мають рівні об’єми. Знайдіть площу поверхні паралелепіпеда, якщо два його виміри дорівнюють 8 см і 25 см, а ребро куба — 10 см.
1) V = 10 см • 10 см • 10 см = 1000 см 3 – об’єм куба.
2) S = a • b = 8 см • 25 см = 200 см 2 – площа основи прямокутного паралелепіпеда.
3) c = V : S = 1000 см 3 : 200 см 2 = 5 см – висота прямокутного паралелепіпеда.
4) 200 см 2 • 2 + (8 см • 5 см) • 2 + (25 см • 5 см) • 2 = 730 см 2 – площа поверхні прямокутного паралелепіпеда.
Вправа 686 Ребро одного куба в 4 рази більше за ребро другого. У скільки разів:
1) площа поверхні першого куба більша за площу поверхні другого;
Нехай х – ребро другого куба, тоді х 2 – площа грані другого куба, 6х 2 – площа поверхні другого куба. Тоді 4х – ребро першого куба, 4х • 4х = 16х 2 – площа грані першого куба, 6 • 16х 2 = 96х 2 – площа поверхні першого куба.
96х 2 : х 2 = 96 (разів) – у стільки разів площа поверхні першого куба більша, ніж другого куба.
Відповідь: площа поверхні першого куба в 96 разів більша, ніж другого куба.
2) об’єм першого куба більший за об’єм другого?
Нехай х – ребро другого куба, х 3 – об’єм другого куба. Тоді 4х – ребро першого куба, 4х • 4х • 4х = 64х 3 – об’єм першого куба.
64х 3 : х 3 = 64 (разів) – у стільки разів об’єм першого куба більший, ніж другого куба.
Відповідь: об’єм першого куба у 64 рази більший, ніж другого куба.
Вправа 687 Як зміниться об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо:
1) довжину збільшити в 4 рази, ширину — у 2 рази, висоту — у 5 разів;
Збільшиться у 4 • 2 • 5 = 40 разів.
2) ширину зменшити в 4 рази, висоту — у 2 рази, а довжину збільшити в 16 разів?
Збільшиться у 16 : 4 : 2 = 2 рази.
V1 = аbc, V2 = 16а • b : 4 • c : 2 = 2аbc = 2V1.
Вправа 688 Як зміниться об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо:
1) кожний вимір збільшити у 2 рази;
Збільшиться в 2 • 2 • 2 = 8 разів.
V1 = аbс, V2 = 2а • 2b • 2с = 8аbс = 8V1) .
2) довжину зменшити в 3 рази, висоту — у 5 разів, а ширину збільшити в 15 разів?
V1 = аbс, V2 = b • 15 • а : 3 • с : 5 = аbс = V1).
Вправа 689 У басейн, площа дна якого дорівнює 1 га, налили 1 000 000 л води. Чи можна в цьому басейні провести змагання з плавання?
1 га = 10000 м 2 = 1000000 дм 2
1 000 000 л = 1 000 000 дм 3
h = V : S = 1000000 дм 3 : 1000000 дм 2 = 1 дм – висота об’єму, що займає вода.
Відповідь: у басейні, де вода налита до 1 дм, плавати не можна.
В акваріум, що має форму прямокутного паралелепіпеда завдовжки 60 см та завширшки 30 см, налили 8 відер води, у кожному з яких було 9 л. Яка глибина води в акваріумі?
1) 60 • 30 = 1800 (см 2 ) = 18 (дм 2 ) – площа основи акваріума.
2) 9 • 8 = 72 (л ) = 72 (дм 5 ) – об’єм води.
3) 72 : 18 = 4 (дм) = 40 (см) – глибина води в акваріумі.
Вправа 691 У кубі, ребро якого дорівнює З см, зробили три наскрізних квадратних отвори зі стороною 1 см (рис. 180). Знайдіть об’єм частини, що залишилась.
1) 3 3 = 27 (см 3 ) – об’єм великого куба.
2) 3 + 2 + 2 = 7 (шт.) – кубиків вирізали.
3) 1 см 3 • 7 = 7 см 3 – об’єм трьох наскрізних квадратних отвори.
4) 27 – 7 = 20 (см 3 ) – об’єм фігури.
Відповідь: об’єм частини, що залишилась, 20 см 3 .
Вправи для повторення
Вправа 692 Навігатор показує, що пішоходу до місця призначення залишилося пройти 1200 м, а шлях займе 24 хв. Як зміниться час руху, якщо пішохід збільшить свою швидкість на 10 м/хв?
1) 1200 : 24 = 50 (м/хв) – початкова швидкість.
2) 50 + 10 = 60 (м/хв) – збільшена швидкість.
3) 1200 : 60 = 20 (хв) – час руху, коли збільшилася швидкості.
4) 24 – 20 = 4 (хв) – на стільки зменшиться час руху, коли збільшилася швидкість.
Відповідь: зменшиться на 4 хв.
Вправа 693 Олена розповіла Івану, що в її саду росте 6 яблунь. Іван сказав, що в нього росте 8 яблунь, а отже, його сім’я збирає більше яблук. Яка сім’я, Олени чи Івана, зібрала більше яблук, якщо в Олени зібрали з кожного дерева 28 кг яблук, а в Івана — 20 кг?
1) 28 • 6 = 168 (ябл.) – зібрала яблук сім’я Олени.
2) 20 • 8 = 160 (ябл.) – зібрала яблук сім’я Івана.
Відповідь: сім’я Олени зібрала більше яблук.
Вправа 694 Знайдіть значення виразу:
1) якщо а + b = 14, тоді 7а + 7b = 7 (а + b) = 7 • 14 = 98
2) якщо х – у = 4, тоді х • 23 – 23 • у = 23 (х – у) = 23 • 4 = 92
Задача від Мудрої Сови
Вправа 695 Розміри куска мила, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнюють 12 см, 6 см і 4 см. Щодня витрачають однакову масу мила. Через 14 днів усі розміри куска мила зменшились у 2 рази. На скільки днів вистачить куска мила, що залишився?
1) 12 • 6 • 4 = 288 (см 3 ) – об’єм мила спочатку.
2) (12 : 2) • (6 : 2) • (4 : 2) = 6 • 3 • 2 = 36 (см 3 ) – об’єм мила, що залишився.
3) 288 – 36 = 252 (см 3 ) – витратили мила за 14 днів.
4) 252 : 14 = 18 (см 3 ) – витратили мила за 1 день.
5) 36 : 18 = 2 (дні) – днів вистачить.
Відповідь: куска мила, що залишився, вистачить на 2 дні.
Задача 696 У записі одного трицифрового числа використано тільки цифри 2 і 3, а в записі другого — тільки цифри 3 і 4. Чи може добуток цих чисел бути записаним тільки цифрами 2 і 4?
Добуток може закінчуватися цифрою 2, якщо остання цифра першого числа 3, а другого числа – 4, бо 3 • 4 = 12.
Цифрами 2 і 3, щоб остання цифра була 3, можуть бути записані такі трицифрові числа 223, 233, 323.
Цифрами 3 і 4, щоб остання цифра була 4, можуть бути записані такі трицифрові числа 344, 434, 334.
Переберемо добутки цих чисел.
Як бачимо добуток таких чисел не можна бути записаним тільки цифрами 2 і 4.
2. Який куб називають одиничним? Куб, ребро якого дорівнює одиничному відрізку, називають одиничним.
Розв’язуємо усно
Завдання 1 Заповніть пропуски в ланцюжку обчислень: